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제곱근(비교)

r17 vs r22
......
77
=== i의 제곱근 ===
88
[math(i)]의 제곱근은 무엇인가 생각할 수 있다. 곧 [math(x^2=i)]를 만족하는 [math(x)]가 무엇인지 궁금할 수 있다.
99
10
이는 대소를 비교할 수 있는 수인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 방정식 [math(a+b\times i=\sqrt{i})]을 풀어보면 된다. (양변을 제곱해보면 미지수 [math(a)], [math(b)]에 대한 연립이차방정식을 얻을 수 있다.)
10
이는 대소를 비교할 수 있는 수(실수)인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(x=a+bi)]로 치환한 방정식 [math(a+b i=\sqrt{i})]을 풀어보면 된다.
11
양변을 제곱해보면 미지수 [math(a)], [math(b)]에 대한 연립이차방정식을 얻을 수 있다. [math(\left(bi\right)^{2}=-b^{2})]가 되므로
12
[math(a^{2}-b^{2}+2ab i=i)]을 얻는다. 양변에서 실수부와 허수부를 비교해보면
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[math(\begin{cases}
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a^{2}-b^{2}=0 \quad\text{(실수부)} \\
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2ab=1 \quad\text{(허수부)}
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\end{cases})]
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실수부의 좌변을 인수분해하면
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[math(\left(a+b\right)\left(a-b\right)=0)]이 되므로
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[math(a=b)] 또는 [math(a=-b)] 이라는 결과를 얻는다.
1120
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[math(a=-b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(-2b^{2}=1)]을 얻는다. 이는 정리하면 [math(b^{2}=-{{1}\over{2}})]가 되는데, [math(b)]가 실수라는 조건에 모순이 된다. [math(a=-b)]는 무리방정식에서 '''무연근'''(제곱을 하여 차수가 더블로 뻥튀기된 일로 발생된 근으로 원래 방정식과 아무런 관계가 없는 근)임을 알 수 있다.
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23
한편 [math(a=b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(2b^{2}=1)]을 얻고, 정리하면 [math(b^{2}={{1}\over{2}})]가 되어 다음을 얻게 된다.
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[math(b={{\sqrt{2}}\over{2}})] 또는 [math(b=-{{\sqrt{2}}\over{2}})]
25
이를 [math(a=b)]에 대입하고, 앞에서 [math(x=a+bi)]에 대입하면 다음을 얻는다.
26
[math(x={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(x=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]
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따라서 [math(i)]의 제곱근은 [math({{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]임을 알 수 있다.
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1230
=== 세제곱근 ===
1331
세제곱근 8인 [math(8 = \sqrt[3]8)] 은 실수 범위 내에서는 2이지만 복소수 범위에서는 [math(x=2 \text{ ,or }x=-1\pm\sqrt{3}i)]가 있다.
1432
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[math(x^3=-1)]이나 [math(x^3=1)]을 구해야 하는 경우가 있다. 이는 [math(\omega)] 기호를 이용하여 나타내기도 한다.
1634
일단 [math(x^3-1=0)]로 이항한 후 인수분해를 하면 [math(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0)] 이 식이 되는데, 그러면 근은 [math(x=1\;\textsf{or}\;x=\dfrac{-1\pm \sqrt 3i}{2})] 이 된다. 한 허근이 [math(\omega)]이면 다른 허근은 켤레복소수이므로 [math(\overline \omega)]가 된다.
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== 둘러보기 ==
37
* [[제곱]]과 거듭제곱
38
* [[지수]], 지수법칙, [[지수함수]]
39
* [[로가리듬]], [[로그함수]] : 지수를 실수 범위로 확장한 지수법칙을 이용하면 로가리듬의 여러 성질을 증명할 수 있다.
40
* [[방정식]]
41
* [[이차방정식]]
42
* [[허수]]와 [[복소수]]
43
* [[무리방정식]]과 [[무연근]] : 근호를 이용한 방정식이다.