r31 vs r35 | ||
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... | ... | |
6 | 6 | 실수 [math(a)]에 대하여 제곱근을 말할 때, "[math(a)]__의__ 제곱근"과 "제곱근 [math(a)]" 두 용례의 혼동에 주의하자. |
7 | 7 | * "[math(a)]의 제곱근"은 개요에서 설명하다시피 [math(\sqrt{a})], [math(-\sqrt{a})]를 가리킨다. |
8 | 8 | * "제곱근 [math(a)]"는 [math(\sqrt{a})]를 가리킨다. |
9 | * 따라서 "'[math(a)]의 제곱근'은 '__플러스__제곱근 [math(a)]'와 '__마이너스__ 제곱근 [math(a)]'이다." 라고 말해야 한다. | |
10 | 이는 세제곱근, 네제곱근 등 거듭제곱근에도 동일하다. 단, 제곱근의 개수와 그에 따른 표현이 다를 뿐이다. | |
11 | * 이를테면 [math(\sqrt[3]{a})]은 "세제곱근 [math(a)]", "[math(a)]의 실수의 세제곱근"으로 불러야 한다. | |
9 | * 따라서 "'[math(a)]의 제곱근'은 '__플러스__ 제곱근 [math(a)]'와 '__마이너스__ 제곱근 [math(a)]'이다." 라고 말해야 한다. | |
10 | 이는 세제곱근, 네제곱근 등 거듭제곱근에도 동일하다. 단, 제곱근의 개수와 그에 따른 표현이 홀수이냐 짝수이냐에 따라 다를 뿐이다. | |
11 | * 이를테면 [math(\sqrt[3]{a})]은 "세제곱근 [math(a)]", "[math(a)]의 __실수__의 세제곱근"으로 불러야 한다. (그렇지 않으면 허수 문단에서 설명하는 [math(\omega)]까지 가리키게 된다.) | |
12 | 12 | * 또 이를테면 [math(\sqrt[4]{a})]는 "네제곱근 [math(a)]", "[math(a)]의 __양__의 네제곱근"으로 불러야 한다. "__음__의 네제곱근"인 [math(-\sqrt[4]{a})]가 있기 때문. |
13 | 13 | |
14 | 14 | 한편 제곱근은 "분수"의 지수로 표현할 수 있다. 이를테면 [math(\sqrt{a})]의 경우 [math(\sqrt{a} = a^{{1}\over{2}})]로 지수에 [math({{1} \over {2}})]을 적음으로써 표현할 수 있다. |
15 | 15 | 세제곱근의 경우 지수에 [math({{1} \over {3}})]을 적음으로써 표현할 수 있다. |
16 | 16 | |
17 | 더시드엔진에서는 다음 TeX 문법을 사용하여 호출할 수 있다. | |
18 | ||{{{[math(\sqrt{a})]}}} : 제곱근 [math(a)] | |
19 | {{{[math(\sqrt[n]{a})]}}} : [math(n)] 제곱근 [math(a)] || | |
20 | 자세한 TeX 문법에 대하여는 다음의 [[https://namu.wiki/w/%EB%82%98%EB%AC%B4%EC%9C%84%ED%82%A4:%EB%AC%B8%EB%B2%95%20%EB%8F%84%EC%9B%80%EB%A7%90/%EC%8B%AC%ED%99%94/TeX|나무위키 도움말]] 문서 또는 다음의 (\<math\>...<\/math\>입력과 \[math(...)\] 입력의 차이를 제외하고)[[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%84%ED%82%A4%EB%B0%B1%EA%B3%BC:TeX_%EB%AC%B8%EB%B2%95|위키피디아 도움말]] 문서를 참조할 수 있다. | |
17 | 21 | == 허수 == |
18 | 22 | [[허수]] 문서 참조. |
19 | 23 | === i의 제곱근 === |
20 | 24 | [math(i)]의 제곱근은 무엇인가 생각할 수 있다. 곧 [math(x^2=i)]를 만족하는 [math(x)]가 무엇인지 궁금할 수 있다. |
21 | 25 | |
22 | 이는 대소를 비교할 수 있는 수(실수)인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(x=a+bi)]로 치환한 방정식 [math(a+b i | |
23 | ||
24 | [math(a^{2}-b^{2}+2ab i=i)]을 얻는다. 양변에서 실수부와 허수부를 비교해보면 | |
26 | 이는 앞의 [math(x^2=i)]에서 대소를 비교할 수 있는 수(실수)인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(x=a+bi)]로 치환한 방정식 [math(\left(a+b i\right)^2=i)]을 풀어보면 된다. | |
27 | 좌변을 전개하면 [math(\left(bi\right)^{2}=-b^{2})]가 되므로 | |
28 | [math(a^{2}-b^{2}+2ab i=i)]을 얻는다. 양변에서 실수부와 허수부를 비교해보면 미지수 [math(a)], [math(b)]에 대한 연립이차방정식을 얻을 수 있다. | |
25 | 29 | [math(\begin{cases} |
26 | 30 | a^{2}-b^{2}=0 \quad\text{(실수부)} \\ |
27 | 31 | 2ab=1 \quad\text{(허수부)} |
... | ... | |
30 | 34 | [math(\left(a+b\right)\left(a-b\right)=0)]이 되므로 |
31 | 35 | [math(a=b)] 또는 [math(a=-b)] 이라는 결과를 얻는다. |
32 | 36 | |
33 | [math(a=-b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(-2b^{2}=1)]을 얻는다. 이는 정리하면 [math(b^{2}=-{{1}\over{2}})]가 되는데, [math(b)]가 실수라는 조건에 모순이 된다. | |
37 | [math(a=-b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(-2b^{2}=1)]을 얻는다. 이는 정리하면 [math(b^{2}=-{{1}\over{2}})]가 되는데, [math(b)]가 실수라는 조건에 모순이 된다. | |
34 | 38 | |
35 | 39 | 한편 [math(a=b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(2b^{2}=1)]을 얻고, 정리하면 [math(b^{2}={{1}\over{2}})]가 되어 다음을 얻게 된다. |
36 | 40 | [math(b={{\sqrt{2}}\over{2}})] 또는 [math(b=-{{\sqrt{2}}\over{2}})] |
37 | 이를 [math(a=b)]에 대입하 | |
38 | [math(x={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(x=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] | |
41 | 이를 [math(a=b)]에 대입하면 다음을 얻는다. | |
42 | [math(a+bi={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(a+bi=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] | |
43 | 정리하면 [math(x=a+bi)]에서 | |
44 | [math(x={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(x=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]라는 해를 얻는다. | |
39 | 45 | |
40 | 따라서 [math(i)]의 제곱근은 [math({{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] | |
46 | 따라서 [math(i)]의 제곱근은 [math({{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]와 [math(-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]임을 알 수 있다. | |
41 | 47 | |
42 | 조금 | |
48 | 한편 [math(i)]의 제곱근을 조금 식을 바꿔 표현하면 다음과 같이 된다. | |
43 | 49 | [math(\cos\left({{\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {4}}\right))], [math(\cos\left({{5\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{5\pi} \over {4}}\right))] |
44 | ||
50 | 실제로 복소평면[* 수직선을 생각해보면 이해하기 쉬운 개념이다. 실수부 수직선과 직교되는 허수부 수직선이 있다. 흔히 생각하는 좌표평면처럼 되며, 복소수를 점으로 표시할 수 있다. 단, 복소수는 대소를 비교할 수 없음에 유의하자.]상에서 [[삼각함수]]를 이런 용도로도 사용할 수 있다. [math(i)]의 경우 [math(i=\cos\left({{\pi} \over {2}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {2}}\right))]가 된다. | |
45 | 51 | |
46 | 52 | === 세제곱근 === |
47 | 53 | 세제곱근 8인 [math(8 = \sqrt[3]8)] 은 실수 범위 내에서는 2이지만 복소수 범위에서는 [math(x=2 \text{ ,or }x=-1\pm\sqrt{3}i)]가 있다. |
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