| r34 vs r39 | ||
|---|---|---|
| 1 | 1 | [[분류:수학]] |
| 2 | [tableofcontents] | |
| 2 | 3 | == 개요 == |
| 3 | 4 | 반대말은 제곱[* 또 [math(y=\sqrt{x})] 이 함수는 이차함수에 대해서 역함수다.]. [math(x^2=a)] 일 때 [math(x=\sqrt{a})], [math(x=-\sqrt{a})]라고 하며 기호 [math(\sqrt{})]를 쓴다. 근호가 뿌리처럼 생겼다고 해서 기호 이름이 루트이다. |
| 4 | 5 | |
| ... | ... | |
| 17 | 18 | 더시드엔진에서는 다음 TeX 문법을 사용하여 호출할 수 있다. |
| 18 | 19 | ||{{{[math(\sqrt{a})]}}} : 제곱근 [math(a)] |
| 19 | 20 | {{{[math(\sqrt[n]{a})]}}} : [math(n)] 제곱근 [math(a)] || |
| 20 | 자세한 TeX 문법에 대하여는 다음의 [[https://namu.wiki/w/%EB%82%98%EB%AC%B4%EC%9C%84%ED%82%A4:%EB%AC%B8%EB%B2%95%20%EB%8F%84%EC%9B%80%EB%A7%90/%EC%8B%AC%ED%99%94/TeX|나무위키 도움말]] 문서 또는 다음의 (\<math\> | |
| 21 | 자세한 TeX 문법에 대하여는 다음의 [[https://namu.wiki/w/%EB%82%98%EB%AC%B4%EC%9C%84%ED%82%A4:%EB%AC%B8%EB%B2%95%20%EB%8F%84%EC%9B%80%EB%A7%90/%EC%8B%AC%ED%99%94/TeX|나무위키 도움말]] 문서 또는 다음의 (\<math\>...<\/math\>입력과 \[math(...)\] 입력의 차이를 제외하고)[[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%84%ED%82%A4%EB%B0%B1%EA%B3%BC:TeX_%EB%AC%B8%EB%B2%95|위키피디아 도움말]] 문서를 참조할 수 있다. | |
| 21 | 22 | == 허수 == |
| 22 | 23 | [[허수]] 문서 참조. |
| 23 | 24 | === i의 제곱근 === |
| 24 | 25 | [math(i)]의 제곱근은 무엇인가 생각할 수 있다. 곧 [math(x^2=i)]를 만족하는 [math(x)]가 무엇인지 궁금할 수 있다. |
| 25 | 26 | |
| 26 | 이는 대소를 비교할 수 있는 수(실수)인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(x=a+bi)]로 치환한 방정식 [math(a+b i | |
| 27 | ||
| 28 | [math(a^{2}-b^{2}+2ab i=i)]을 얻는다. 양변에서 실수부와 허수부를 비교해보면 | |
| 27 | 이는 앞의 [math(x^2=i)]에서 대소를 비교할 수 있는 수(실수)인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(x=a+bi)]로 치환한 방정식 [math(\left(a+b i\right)^2=i)]을 풀어보면 된다. | |
| 28 | 좌변을 전개하면 [math(\left(bi\right)^{2}=-b^{2})]가 되므로 | |
| 29 | [math(a^{2}-b^{2}+2ab i=i)]을 얻는다. 두 복소수가 같으려면 실수부끼리 같아야 하면서 허수부끼리 같아야 한다는 사실에 기반하여 이 식의 양변에서 실수부와 허수부를 비교해보면 미지수 [math(a)], [math(b)]에 대한 연립이차방정식을 얻을 수 있다. | |
| 29 | 30 | [math(\begin{cases} |
| 30 | 31 | a^{2}-b^{2}=0 \quad\text{(실수부)} \\ |
| 31 | 32 | 2ab=1 \quad\text{(허수부)} |
| ... | ... | |
| 34 | 35 | [math(\left(a+b\right)\left(a-b\right)=0)]이 되므로 |
| 35 | 36 | [math(a=b)] 또는 [math(a=-b)] 이라는 결과를 얻는다. |
| 36 | 37 | |
| 37 | [math(a=-b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(-2b^{2}=1)]을 얻는다. 이는 정리하면 [math(b^{2}=-{{1}\over{2}})]가 되는데, [math(b)]가 실수라는 조건에 모순이 된다. | |
| 38 | [math(a=-b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(-2b^{2}=1)]을 얻는다. 이는 정리하면 [math(b^{2}=-{{1}\over{2}})]가 되는데, [math(b)]가 실수라는 조건에 모순이 된다. | |
| 38 | 39 | |
| 39 | 40 | 한편 [math(a=b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(2b^{2}=1)]을 얻고, 정리하면 [math(b^{2}={{1}\over{2}})]가 되어 다음을 얻게 된다. |
| 40 | 41 | [math(b={{\sqrt{2}}\over{2}})] 또는 [math(b=-{{\sqrt{2}}\over{2}})] |
| 41 | 이를 [math(a=b)]에 대입하 | |
| 42 | [math(x={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(x=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] | |
| 42 | 이를 [math(a=b)]에 대입하면 다음을 얻는다. | |
| 43 | [math(a+bi={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(a+bi=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] | |
| 44 | 정리하면 [math(x=a+bi)]에서 | |
| 45 | [math(x={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(x=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]라는 해를 얻는다. | |
| 43 | 46 | |
| 44 | 따라서 [math(i)]의 제곱근은 [math({{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] | |
| 47 | 따라서 [math(i)]의 제곱근은 [math({{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]와 [math(-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]임을 알 수 있다. | |
| 45 | 48 | |
| 46 | 조금 더 식을 바꿔보면 다음과 같이 된다. | |
| 47 | [math(\cos\left({{\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {4}}\right))], [math(\cos\left({{5\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{5\pi} \over {4}}\right))] | |
| 48 | (실제로 복소평면[* 수직선을 생각해보면 이해하기 쉬운 개념이다. 실수부 수직선과 직교되는 허수부 수직선이 있다. 흔히 생각하는 좌표평면처럼 되며, 복소수를 점으로 표시할 수 있다. 단, 복소수는 대소를 비교할 수 없음에 유의하자.]상에서 [[삼각함수]]를 이런 용도로도 사용할 수 있다. [math(i)]의 경우 [math(i=\cos\left({{\pi} \over {2}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {2}}\right))]가 된다.) | |
| 49 | ||
| 50 | 49 | === 세제곱근 === |
| 51 | 50 | 세제곱근 8인 [math(8 = \sqrt[3]8)] 은 실수 범위 내에서는 2이지만 복소수 범위에서는 [math(x=2 \text{ ,or }x=-1\pm\sqrt{3}i)]가 있다. |
| 52 | 51 | |
| 53 | 52 | [math(x^3=-1)]이나 [math(x^3=1)]을 구해야 하는 경우가 있다. 이는 [math(\omega)] 기호를 이용하여 나타내기도 한다. |
| 54 | 53 | 일단 [math(x^3-1=0)]로 이항한 후 인수분해를 하면 [math(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0)] 이 식이 되는데, 그러면 근은 [math(x=1\;\textsf{or}\;x=\dfrac{-1\pm \sqrt 3i}{2})] 이 된다. 한 허근이 [math(\omega)]이면 다른 허근은 켤레복소수이므로 [math(\overline \omega)]가 된다. |
| 55 | 54 | |
| 55 | === [[삼각함수]]를 이용한 방법 === | |
| 56 | 한편 [math(i)]의 제곱근을 조금 식을 바꿔 표현하면 다음과 같이 된다. | |
| 57 | [math(\cos\left({{\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {4}}\right))], [math(\cos\left({{5\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{5\pi} \over {4}}\right))] | |
| 58 | 실제로 복소평면[* 수직선을 생각해보면 이해하기 쉬운 개념이다. 실수부 수직선과 직교되는 허수부 수직선이 있다. 흔히 생각하는 좌표평면처럼 되며, 복소수를 점으로 표시할 수 있다. 단, 복소수는 대소를 비교할 수 없음에 유의하자.]상에서 [[삼각함수]]를 이런 용도로도 사용할 수 있다. [math(i)]의 경우 [math(i=\cos\left({{\pi} \over {2}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {2}}\right))]가 된다. | |
| 59 | ||
| 60 | 1의 세제곱근은 1주기가 [math(2\pi)]임을 이용, 다음으로도 표기가 가능하다. | |
| 61 | [math(\cos\left({2\pi}\right)+i \sin\left({2\pi} \right)=1+0i=1)] | |
| 62 | [math(\cos\left({{2\pi} \over {3}}\right)+i \sin\left({{2\pi} \over {3}}\right)=-{{1}\over{2}}+{{\sqrt{3}}\over{2}}i)] | |
| 63 | [math(\cos\left({{4\pi} \over {3}}\right)+i \sin\left({{4\pi} \over {3}}\right)=-{{1}\over{2}}-{{\sqrt{3}}\over{2}}i)] | |
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| 65 | ||
| 56 | 66 | == 둘러보기 == |
| 57 | 67 | * [[제곱]]과 거듭제곱 |
| 58 | * [[지수]], 지수법칙, [[지수함수]] | |
| 68 | * [[지수]], [[지수법칙]], [[지수함수]] | |
| 59 | 69 | * [[로가리듬]], [[로그함수]] : 지수를 실수 범위로 확장한 지수법칙을 이용하면 로가리듬의 여러 성질을 증명할 수 있다. |
| 60 | 70 | * [[방정식]] |
| 61 | 71 | * [[이차방정식]] |
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