r36 vs r38 | ||
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... | ... | |
25 | 25 | |
26 | 26 | 이는 앞의 [math(x^2=i)]에서 대소를 비교할 수 있는 수(실수)인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(x=a+bi)]로 치환한 방정식 [math(\left(a+b i\right)^2=i)]을 풀어보면 된다. |
27 | 27 | 좌변을 전개하면 [math(\left(bi\right)^{2}=-b^{2})]가 되므로 |
28 | [math(a^{2}-b^{2}+2ab i=i)]을 얻는다. 두 복소수가 같으려면 실수부 | |
28 | [math(a^{2}-b^{2}+2ab i=i)]을 얻는다. 두 복소수가 같으려면 실수부끼리 같아야 하면서 허수부끼리 같아야 한다는 사실에 기반하여 이 식의 양변에서 실수부와 허수부를 비교해보면 미지수 [math(a)], [math(b)]에 대한 연립이차방정식을 얻을 수 있다. | |
29 | 29 | [math(\begin{cases} |
30 | 30 | a^{2}-b^{2}=0 \quad\text{(실수부)} \\ |
31 | 31 | 2ab=1 \quad\text{(허수부)} |
... | ... | |
45 | 45 | |
46 | 46 | 따라서 [math(i)]의 제곱근은 [math({{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]와 [math(-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]임을 알 수 있다. |
47 | 47 | |
48 | 한편 [math(i)]의 제곱근을 조금 식을 바꿔 표현하면 다음과 같이 된다. | |
49 | [math(\cos\left({{\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {4}}\right))], [math(\cos\left({{5\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{5\pi} \over {4}}\right))] | |
50 | 실제로 복소평면[* 수직선을 생각해보면 이해하기 쉬운 개념이다. 실수부 수직선과 직교되는 허수부 수직선이 있다. 흔히 생각하는 좌표평면처럼 되며, 복소수를 점으로 표시할 수 있다. 단, 복소수는 대소를 비교할 수 없음에 유의하자.]상에서 [[삼각함수]]를 이런 용도로도 사용할 수 있다. [math(i)]의 경우 [math(i=\cos\left({{\pi} \over {2}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {2}}\right))]가 된다. | |
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52 | 48 | === 세제곱근 === |
53 | 49 | 세제곱근 8인 [math(8 = \sqrt[3]8)] 은 실수 범위 내에서는 2이지만 복소수 범위에서는 [math(x=2 \text{ ,or }x=-1\pm\sqrt{3}i)]가 있다. |
54 | 50 | |
55 | 51 | [math(x^3=-1)]이나 [math(x^3=1)]을 구해야 하는 경우가 있다. 이는 [math(\omega)] 기호를 이용하여 나타내기도 한다. |
56 | 52 | 일단 [math(x^3-1=0)]로 이항한 후 인수분해를 하면 [math(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0)] 이 식이 되는데, 그러면 근은 [math(x=1\;\textsf{or}\;x=\dfrac{-1\pm \sqrt 3i}{2})] 이 된다. 한 허근이 [math(\omega)]이면 다른 허근은 켤레복소수이므로 [math(\overline \omega)]가 된다. |
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54 | === [[삼각함수]]를 이용한 방법 === | |
55 | 한편 [math(i)]의 제곱근을 조금 식을 바꿔 표현하면 다음과 같이 된다. | |
56 | [math(\cos\left({{\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {4}}\right))], [math(\cos\left({{5\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{5\pi} \over {4}}\right))] | |
57 | 실제로 복소평면[* 수직선을 생각해보면 이해하기 쉬운 개념이다. 실수부 수직선과 직교되는 허수부 수직선이 있다. 흔히 생각하는 좌표평면처럼 되며, 복소수를 점으로 표시할 수 있다. 단, 복소수는 대소를 비교할 수 없음에 유의하자.]상에서 [[삼각함수]]를 이런 용도로도 사용할 수 있다. [math(i)]의 경우 [math(i=\cos\left({{\pi} \over {2}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {2}}\right))]가 된다. | |
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59 | 1의 세제곱근은 1주기가 [math(2\pi)]임을 이용, 다음으로도 표기가 가능하다. | |
60 | [math(\cos\left({2\pi}\right)+i \sin\left({2\pi} \right)=1+0i=1)] | |
61 | [math(\cos\left({{2\pi} \over {3}}\right)+i \sin\left({{2\pi} \over {3}}\right)=-{{1}\over{2}}+{{\sqrt{3}}\over{2}}i)] | |
62 | [math(\cos\left({{4\pi} \over {3}}\right)+i \sin\left({{4\pi} \over {3}}\right)=-{{1}\over{2}}-{{\sqrt{3}}\over{2}}i)] | |
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58 | 65 | == 둘러보기 == |
59 | 66 | * [[제곱]]과 거듭제곱 |
60 | 67 | * [[지수]], 지수법칙, [[지수함수]] |
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