제곱근(비교)

== 표현 ==

실수 [math(a)]에 대하여 제곱근을 말할 때, "[math(a)]__의__ 제곱근"과 "제곱근 [math(a)]" 두 용례의 혼동에 주의하자.

* "[math(a)]의 제곱근"은 개요에서 설명하다시피 [math(\sqrt{a})], [math(-\sqrt{a})]를 가리킨다.

* "제곱근 [math(a)]"는 [math(\sqrt{a})]를 가리킨다.

* 따라서 "'[math(a)]의 제곱근'은 '__플러스__ 제곱근 [math(a)]'와 '__마이너스__ 제곱근 [math(a)]'이다." 라고 말해야 한다.

이는 세제곱근, 네제곱근 등 거듭제곱근에도 동일하다. 단, 제곱근의 개수와 그에 따른 표현이 홀수이냐 짝수이냐에 따라 다를 뿐이다.

* 이를테면 [math(\sqrt[3]{a})]은 "세제곱근 [math(a)]", "[math(a)]의 __실수__의 세제곱근"으로 불러야 한다. (그렇지 않으면 허수 문단에서 설명하는 [math(\omega)]까지 가리키게 된다.)

* 또 이를테면 [math(\sqrt[4]{a})]는 "네제곱근 [math(a)]", "[math(a)]의 __양__의 네제곱근"으로 불러야 한다. "__음__의 네제곱근"인 [math(-\sqrt[4]{a})]가 있기 때문.

한편 제곱근은 "분수"의 지수로 표현할 수 있다. 이를테면 [math(\sqrt{a})]의 경우 [math(\sqrt{a} = a^{{1}\over{2}})]로 지수에 [math({{1} \over {2}})]을 적음으로써 표현할 수 있다.

세제곱근의 경우 지수에 [math({{1} \over {3}})]을 적음으로써 표현할 수 있다.

더시드엔진에서는 다음 TeX 문법을 사용하여 호출할 수 있다.

||{{{[math(\sqrt{a})]}}} : 제곱근 [math(a)]

{{{[math(\sqrt[n]{a})]}}} : [math(n)] 제곱근 [math(a)] ||

자세한 TeX 문법에 대하여는 다음의 [[https://namu.wiki/w/%EB%82%98%EB%AC%B4%EC%9C%84%ED%82%A4:%EB%AC%B8%EB%B2%95%20%EB%8F%84%EC%9B%80%EB%A7%90/%EC%8B%AC%ED%99%94/TeX|나무위키 도움말]] 문서 또는 다음의 (\<math\>...<\/math\>입력과 \[math(...)\] 입력의 차이를 제외하고)[[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%84%ED%82%A4%EB%B0%B1%EA%B3%BC:TeX_%EB%AC%B8%EB%B2%95|위키피디아 도움말]] 문서를 참조할 수 있다.

== 허수 ==

[[허수]] 문서 참조.

=== i의 제곱근 ===

[math(i)]의 제곱근은 무엇인가 생각할 수 있다. 곧 [math(x^2=i)]를 만족하는 [math(x)]가 무엇인지 궁금할 수 있다.

이는 앞의 [math(x^2=i)]에서 대소를 비교할 수 있는 수(실수)인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(x=a+bi)]로 치환한 방정식 [math(\left(a+b i\right)^2=i)]을 풀어보면 된다.

좌변을 전개하면 [math(\left(bi\right)^{2}=-b^{2})]가 되므로

[math(a^{2}-b^{2}+2ab i=i)]을 얻는다. 두 복소수가 같으려면 실수부끼리 같아야 하면서 허수부끼리 같아야 한다는 사실에 기반하여 이 식의 양변에서 실수부와 허수부를 비교해보면 미지수 [math(a)], [math(b)]에 대한 연립이차방정식을 얻을 수 있다.

[math(\begin{cases}

a^{2}-b^{2}=0 \quad\text{(실수부)} \\

2ab=1 \quad\text{(허수부)}

\end{cases})]

실수부의 좌변을 인수분해하면

[math(\left(a+b\right)\left(a-b\right)=0)]이 되므로

[math(a=b)] 또는 [math(a=-b)] 이라는 결과를 얻는다.

[math(a=-b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(-2b^{2}=1)]을 얻는다. 이는 정리하면 [math(b^{2}=-{{1}\over{2}})]가 되는데, [math(b)]가 실수라는 조건에 모순이 된다.

한편 [math(a=b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(2b^{2}=1)]을 얻고, 정리하면 [math(b^{2}={{1}\over{2}})]가 되어 다음을 얻게 된다.

[math(b={{\sqrt{2}}\over{2}})] 또는 [math(b=-{{\sqrt{2}}\over{2}})]

이를 [math(a=b)]에 대입하면 다음을 얻는다.

[math(a+bi={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(a+bi=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]

정리하면 [math(x=a+bi)]에서

[math(x={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(x=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]라는 해를 얻는다.

따라서 [math(i)]의 제곱근은 [math({{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]와 [math(-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]임을 알 수 있다.

=== 세제곱근 ===

세제곱근 8인 [math(8 = \sqrt[3]8)] 은 실수 범위 내에서는 2이지만 복소수 범위에서는 [math(x=2 \text{ ,or }x=-1\pm\sqrt{3}i)]가 있다.

[math(x^3=-1)]이나 [math(x^3=1)]을 구해야 하는 경우가 있다. 이는 [math(\omega)] 기호를 이용하여 나타내기도 한다.

일단 [math(x^3-1=0)]로 이항한 후 인수분해를 하면 [math(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0)] 이 식이 되는데, 그러면 근은 [math(x=1\;\textsf{or}\;x=\dfrac{-1\pm \sqrt 3i}{2})] 이 된다. 한 허근이 [math(\omega)]이면 다른 허근은 켤레복소수이므로 [math(\overline \omega)]가 된다.

=== [[삼각함수]]를 이용한 방법 ===

한편 [math(i)]의 제곱근을 조금 식을 바꿔 표현하면 다음과 같이 된다.

[math(\cos\left({{\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {4}}\right))], [math(\cos\left({{5\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{5\pi} \over {4}}\right))]

실제로 복소평면[* 수직선을 생각해보면 이해하기 쉬운 개념이다. 실수부 수직선과 직교되는 허수부 수직선이 있다. 흔히 생각하는 좌표평면처럼 되며, 복소수를 점으로 표시할 수 있다. 단, 복소수는 대소를 비교할 수 없음에 유의하자.]상에서 [[삼각함수]]를 이런 용도로도 사용할 수 있다. [math(i)]의 경우 [math(i=\cos\left({{\pi} \over {2}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {2}}\right))]가 된다.

1의 세제곱근은 1주기가 [math(2\pi)]임을 이용, 다음으로도 표기가 가능하다.

[math(\cos\left({2\pi}\right)+i \sin\left({2\pi} \right)=1+0i=1)]

[math(\cos\left({{2\pi} \over {3}}\right)+i \sin\left({{2\pi} \over {3}}\right)=-{{1}\over{2}}+{{\sqrt{3}}\over{2}}i)]

[math(\cos\left({{4\pi} \over {3}}\right)+i \sin\left({{4\pi} \over {3}}\right)=-{{1}\over{2}}-{{\sqrt{3}}\over{2}}i)]

== 둘러보기 ==

* [[제곱]]과 거듭제곱

* [[지수]], [[지수법칙]], [[지수함수]]

* [[로가리듬]], [[로그함수]] : 지수를 실수 범위로 확장한 지수법칙을 이용하면 로가리듬의 여러 성질을 증명할 수 있다.

* [[방정식]]

* [[이차방정식]]

* [[허수]]와 [[복소수]]

* [[무리방정식]]과 [[무연근]] : 근호를 이용한 방정식이다.