r23 vs r28 | ||
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... | ... | |
9 | 9 | == 엡실론‐델타법 == |
10 | 10 | 고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합과 명제(멱집합), 부등호, 절댓값, 함숫값 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition)이므로 이해하기 쉬울 수 있다. 기호를 풀어 쓰면 다음과 같다. |
11 | 11 | |
12 | === 어떤 지점에 대한 함수의 극한 === | |
13 | [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]에 대하여 [math(f\left(x\right))]의 정의역(집합)을 [math(D)]라 하자. | |
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12 | 15 | [math(x \to a)]의 경우는 다음과 같이 된다. |
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14 | 들어가기 앞서 [math(f\left(x\right))]의 정의역에 대하여 [math(x=a)]가 | |
15 | 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 | |
16 | ||
17 | 들어가기 앞서 [math(f\left(x\right))]의 정의역에 대하여 | |
18 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 __내점(Interior point)__이어야 한다. (함수의 정의역은 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 경우만 있는 것이 아니고, 복잡하게 제한되는 경우가 있기 때문이다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.) | |
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18 | [math( | |
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23 | [math(x=a)]가 | |
20 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 내점임을 보이려면 다음 명제를 증명해야 한다. | |
21 | ||[math(a \in \left\{x|a-c<x<a+c\right\} \subset D)] | |
22 | 를 만족하는 적당한 양수 [math(c)]가 존재한다.|| | |
23 | ||
24 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 내점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다. | |
24 | 25 | ||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여 |
25 | 26 | 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 error를 생각해보자.) |
26 | 27 | 상수 [math(L)]에 대하여 다음 명제 곧 |
... | ... | |
31 | 32 | 함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 [math(L)]로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]으로 표기한다. |
32 | 33 | |
33 | 34 | 만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 '''발산한다'''고 말한다. || |
34 | ||
35 | 극한점이라는 전제가 없으면 문제가 발생한다. 앞의 | |
36 | ||임의의 양수 [math(c)]에 대하여 | |
37 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
38 | 명제의 부정은 | |
39 | ||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여 | |
40 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D = \emptyset)]|| | |
41 | 이 된다. | |
42 | ||
43 | 여기에서 문제점이 생기게 된다. 왜냐면 앞에 말한 함수의 극한의 정의에서 다음 | |
44 | > [math(x \neq a)]이고 [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면 | |
45 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. | |
46 | 라는 명제에서 문제점이 발생하는데, [math(x=a)]를 제외한 나머지 [math(x)]의 지점 가운데 [math(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} )] 에 포함되는 지점에서는 '''함숫값이 존재하지 않으므로 가정이 거짓이 되기 때문에 명제가 참'''이 되는 오류가 발생하기 때문이다. | |
47 | ||
48 | 35 | ------- |
49 | 36 | 무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f(x))]가 자연수 [math(n)]에 대한 함수 [math({\color{green}a_{n}})]으로 바뀌었다고 생각해보자.) |
50 | 37 | ||무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]에 대하여 |
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