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분류
1. 개요2. 개략적인 극한의 정의
2.1. 함수의 극한2.2. 수열의 극한
3. 엡실론을 이용한 극한의 정의
3.1. 어떤 지점에서의 함수의 극한 (엡실론-델타법)
3.1.1. 참고사항1
3.1.1.1. 내점이면 극한점이 되는 이유3.1.1.2. 수렴하는 극한의 유일성3.1.1.3. 적어도 극한점임이 전제되어야 하는 이유
3.2. 수열의 극한
4. 다른 공간에서 극한의 정의
4.1. 위상공간에서 극한의 정의
4.1.1. 보통위상에서 변환하는 과정4.1.2. 변환
4.2. 변수가 2개 이상인 경우
5. 연속6. 여담7. 관련 문서

1. 개요[편집]

Limit
함수, 수열을 비롯한 어떤 연산자의 값의 변동이 일정 지점 부근(일정 구간 내)에서 어떤 값으로 제한되는지의 유무를 판단하여 그 존재 내지 값을 구하는 계산법이다. 포위망을 점점 좁힐 터이니 연산자 값은 길고 날뛰어봤자 이런 값에서 제한되어 못 벗어난다.

2. 개략적인 극한의 정의[편집]

원래는 후술할 "엡실론을 이용한 극한의 정의"를 소개하는 것이 맞으나, 정의에 쓰이는 기호가 복잡하게 보이는 까닭에 고등학교 교과 과정에서는 (극한을 처음 배우는 입장이기도 하니) 극한을 원 정의에서 유추되는 설명으로 개략적으로 소개하고 있다.

2.1. 함수의 극한[편집]

수학에서 xxaa에 가까워질 때, f(x)f(x)가 한없이 LL에 가까워지면 limxaf(x)=L\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L이다.
이때, xxaa가 무조건 맞지는 않는다.

2.2. 수열의 극한[편집]

무한 수열 ana_{n} 에 대해 nn이 무한히 커지고 ana_{n}LL에 가까워지면 limnan=L{\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L 이라고 한다.

3. 엡실론을 이용한 극한의 정의[편집]

고등학교 과정을 넘어가면 그리스 문자 ϵ\epsilon(엡실론), δ\delta(델타) 등을 읽으면서 극한의 정의를 엄밀하게 배운다.
내점(Interior point), 극한점(Limit point) 등의 용어가 나오는데, 이들을 먼저 이해해야 엡실론을 이용한 극한의 정의를 이해할 수 있음을 밝힌다. 다만, 건너뛰고 읽을 위키러들이 있을 수 있으니 문서 중간중간에 정의를 설명해놓았다. 실수체계에 대한 자세한 내용은 이 문서를 참조할 수 있다. 위상에 대한 내용은 이 문서 참조.

기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "ϵ\epsilon-근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다.
여기에서는 변수가 1개인 함수를 본다.
  • 먼저 실수 전체집합을 R\mathbb{R}이라 하자.
  • 공역을 R\mathbb{R}로 두면서도 실수인 변수 xx에 대한 함수 f(x)f\left(x\right)의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 DD라 하자. (교과서에 따라 EE라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 DD로 적는다.)
    • (당연히 DRD \subset \mathbb{R}이 된다.)
    • (또한 이는 f:DRf:D \to \mathbb{R}이 된다.)

3.1. 어떤 지점에서의 함수의 극한 (엡실론-델타법)[편집]

xax \to a의 경우는 다음과 같이 된다.

들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다.
f(x)f\left(x\right)의 정의역에 대하여 x=ax=aDD의 극한점(limit point)[보통위상]일 것.

x=ax=a가 "DD의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 aDa \in D일 필요는 없다.)
임의의 양수 c{\color{blue}c}에 대하여
({xac<x<a+c}\{a})D\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset
임을 보여야한다.

흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 xx의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역 DD가 복잡하게 제한되는 경우가 있다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.
그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 xx의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다.

만일 x=ax=aDD의 "내점(Interior point)"이라면 그것으로도 충분하다. 왜냐면 x=ax=aDD의 '내점'이면 곧 극한점이 되기 때문이다. 자세한 이유는 아래 하위 문단의 내용 참조.

x=ax=aDD의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
xx에 대한 함수 f(x)f\left(x\right)aa에 대하여
아무 ϵ>0\epsilon > 0ϵ\epsilon을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 error를 생각해보자.)
상수 LRL \in \mathbb{R}에 대하여 다음 명제 곧
xDx \in D이고 xax \neq a, aδ<x<a+δa-\delta < x < a+\delta이면[2]
Lϵ<f(x)<L+ϵL-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon이다.[3]
를 참이 되게 할 수 있는 적당한 양수 δ\delta를 항상 정할 수 있는 상수 LL이 존재할 때 ("차이"라는 뜻의 difference를 생각해보자.)

함수 f(x)f\left(x\right)x=ax=a에서 LL수렴한다고 말하며 (동치로서) 기호로는 limxaf(x)=L\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L으로 표기한다.

만일 해당되는 LL이 존재하지 않으면, f(x)f\left(x\right)x=ax=a에서 발산한다고 말한다.
이해를 돕기 위해 "수렴한다", "발산한다"라는 표현을 하였으며, 원래는 이보다 "함수 f(x)f\left(x\right)x=ax=a에서 극한을 가진다.(A function f(x)f\left(x\right) has a limit at x=ax=a)" 라는 말로 더 많이 표현한다.

기호들을 사용하면 다음과 같다.
f:D(R)R,  aDf:D\left(\subset\mathbb{R}\right) \to \mathbb{R},\ \ a \in D^{\prime}
limxaf(x)=LLR such as ϵ>0, δ>0 such asxD, 0<xa<δf(x)L<ϵ\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L}\\ \Longleftrightarrow \exist L \in \mathbb{R}\ \text{such as}\ \forall \epsilon >0,\ \exist \delta > 0 \ \text{such as} \\ x \in D,\ 0< \left\|x-a\right\| < \delta \Longrightarrow \left\| f(x)-L\right\| < \epsilon
여기서 DD^{\prime}DD의 모든 극한점들을 모아놓는 집합이다.

3.1.1. 참고사항1[편집]

3.1.1.1. 내점이면 극한점이 되는 이유[편집]
x=ax=aDD의 "내점(Interior point)"이라고 하면 x=ax=aDD의 극한점이 됨을 보이자.

1. 내점의 정의에 따라 다음을 만족한다.
a{xac1<x<a+c1}Da \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D
를 만족하는 적당한 양수 c1c_{1}가 존재한다.

2. 1.에서 다음을 만족한다.
({xac1<x<a+c1}\{a})D\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D

3. 2.의 집합의 원소로는 ac1a-c_{1}aa의 산술평균인 (ac1)+a2\displaystyle{{{\left(a-c_{1}\right)+a}\over {2}}}을 생각할 수 있으며. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많으면서 DD의 원소이다.
따라서 다음을 만족한다.
({xac1<x<a+c1}\{a})D\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

4. 3.에서 c2c1{\color{green}c_{2}} \leq c_{1}인 임의의 양수 c2{\color{green}c_{2}} 에 대하여
({xac2<x<a+c2}\{a})({xac1<x<a+c1}\{a})D\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D
이 되며, 다음 집합은 (ac2a-c_{2}보다 크면서 aa보다 작은 실수는 무수히 많으면서도) DD의 부분집합이며 또한 공집합이 아니다.
{xac2<x<a+c2}\{a}\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\}

따라서 다음을 만족한다.
({xac2<x<a+c2}\{a})D\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\}\right) \cap D \neq \emptyset

5. 임의의 양수 c{\color{blue}c}에 대하여 c3{\color{red}c_{3}}c1c_{1}c{\color{blue}c}중 작은 값으로 두자.
여기서 다음을 보이고자 한다.
({xacx<a+c}\{a})D\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

6. 5.에서 c1c_{1}c{\color{blue}c}의 대소는 c>c1{\color{blue}c} > c_{1} 이거나 c=c1{\color{blue}c} = c_{1} 이거나 c<c1{\color{blue}c} < c_{1} 이다.

7. 6.에서 만일 cc1{\color{blue}c} \leq c_{1}이라고 하자.
그러면 c3=cc1{\color{red}c_{3}}={\color{blue}c}\leq c_{1}이 된다.
이 때 4.와 같은 방법으로 c2=c3{\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}} 으로 두면 다음의 식을 만족한다.
({xac2<x<a+c2}\{a})D\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}}<x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset
여기서 c2=c3=c{\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}}={\color{blue}c}이 되었으므로 다음이 성립한다.
({xac<x<a+c}\{a})D\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

8. 6.에서 만일 c>c1{\color{blue}c} > c_{1}이라고 하자.
그러면 1.에서
({xac1<x<a+c1}\{a})\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)
({xac<x<a+c}\{a}){\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)
이 된다. 여기에서 다음이 성립한다.
({xac1<x<a+c1}\{a})D\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D
({xac<x<a+c}\{a})D{\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D

이 때 2., 3.에서
({xac1<x<a+c1}\{a})D\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset
가 성립한다.

공집합이 아닌 다음 집합인
({xac1<x<a+c1}\{a})D\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D
을 포함하는 집합 곧
({xac<x<a+c}\{a})D\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D
은 공집합이 아니므로 다음 식이 성립된다. (공집합이 아닌 집합을 포함하는 집합은 공집합이 아니다.)
({xac<x<a+c}\{a})D\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

9. 7.8.에 따라 다음이 성립된다.
임의의 c{\color{blue}c}에 대하여
({xac<x<a+c}\{a})D\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

따라서 x=ax=aDD의 '내점'이면 x=ax=aDD의 '극한점'이 된다.

참고로, 주의할 점이 있는데 DD의 극한점이라고 해서 DD의 내점이 되지는 않는다. 만일 DDR\mathbb{R}의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합(곧 유리수 전체의 집합 Q\mathbb{Q})이고 여기서 임의의x=px=p 지점을 가져왔다고 하자.
임의의 양수 cc에 대하여 다음 집합인
{xpc<x<p+c}\left\{x|p-c<x<p+c\right\}
를 보자.
위 집합에서는 cc가 그 어떤 값이 되어도 무수히 많은 유리수가 존재하면서도 이들은 모두 DD의 원소이다. 따라서 DD의 원소에 해당되는 모든 xx의 지점은 DD의 극한점이 된다.
한편, 위 집합에서는 cc가 그 어떤 값이라도 무수히 많은 무리수가 존재하며, 따라서 위 집합은 DD의 부분집합이 될 수 없다. 따라서 DD의 원소에 해당되는 모든 xx의 지점은 DD의 내점이 아님을 알 수 있다.
(여담으로 Q\mathbb{Q}의 극한점들을 모아놓은 집합은 R\mathbb{R}이 된다.)
3.1.1.2. 수렴하는 극한의 유일성[편집]
극한이 LL로 수렴할 경우, 유일(unique)하다. (여기 보통위상[보통위상]에서는. 위상이 어떤 구성으로 되어있느냐에 따라 수렴하는 극한값이 유일하지 않을 수 있다.)

0. 가정하기를(Suppose that) 서로 다른 두 실수 L1L_{1}L2L_{2}에 대하여 L1<L2L_{1} < L_{2}이면서
limxaf(x)=L1\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{1}}이고 limxaf(x)=L2\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{2}}
라고 하자. (곧 xax \to a의 극한값이 둘이라고 하자.)

1. 그러면 함수의 정의에 따라 L1L_{1}L2L_{2}에 따른 임의의 두 양수 ϵ1\epsilon_{1}, ϵ2\epsilon_{2}에 대하여 (ϵ1\epsilon_{1}, ϵ2\epsilon_{2}이 그 어떤 값이라도) 적당한 양수 δ1\delta_{1}, δ2\delta_{2}가 존재하여 다음을 만족한다. 다시 말해, 다음 두 명제는 참이 된다.
xDx \in D이고 xax \neq a, aδ1<x<a+δ1a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1}이면
L1ϵ1<f(x)<L1+ϵ1L_{1}-\epsilon_{1}< f\left(x\right) < L_{1}+\epsilon_{1}이다.

xDx \in D이고 xax \neq a, aδ2<x<a+δ2a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2}이면
L2ϵ2<f(x)<L2+ϵ2L_{2}-\epsilon_{2}< f\left(x\right) < L_{2}+\epsilon_{2}이다.

2. 이 때 양수 ϵ\epsilon
ϵ<L2L12\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}}
을 만족하는 적당한 값으로 두자.

3. 이 때 2.에서 ϵ1=ϵ\epsilon_{1}={\color{blue}\epsilon}, ϵ2=ϵ\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon}으로 두어도 1.에 따라 적당한 양수 δ1\delta_{1}, δ2\delta_{2}가 존재하여 다음을 만족한다.
(ϵ1=ϵ2=ϵ\epsilon_{1}=\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon}을 대입한 것이며, 두 명제는 참이 된다.)
xDx \in D이고 xax \neq a, aδ1<x<a+δ1a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1}이면
L1ϵ<f(x)<L1+ϵL_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}이다.

xDx \in D이고 xax \neq a, aδ2<x<a+δ2a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2}이면
L2ϵ<f(x)<L2+ϵL_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}이다.

4. 3.에서 양수 δ\deltaδ1\delta_{1}δ2\delta_{2} 중 작은 값으로 결정하면 다음 역시 만족한다.(δ1\delta_{1}, δ2\delta_{2}δ{\color{red}\delta}으로 바꾼 것이며 두 명제는 참이 된다.)
xDx \in D이고 xax \neq a, aδ<x<a+δa-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta}이면
L1ϵ<f(x)<L1+ϵL_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}이다.

xDx \in D이고 xax \neq a, aδ<x<a+δa-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta}이면
L2ϵ<f(x)<L2+ϵL_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}이다.

5. 4.의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (충분조건이 동일하므로, 필요조건만을 합치면 된다.)
xDx \in D이고 xax \neq a, aδ<x<a+δa-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta}이면
L1ϵ<f(x)<L1+ϵL_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}이면서 L2ϵ<f(x)<L2+ϵL_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}이다.

6. 이 때(5.에서) 모순(contradiction)이 발생한다.
왜냐면 5.의 결론부분인
L1ϵ<f(x)<L1+ϵL_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}이면서 L2ϵ<f(x)<L2+ϵL_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}이다.
에서 다음 두 집합
D1={yL1ϵ<y<L1+ϵ}D_{1}=\left\{ y | L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}\right\}
D2={yL2ϵ<y<L2+ϵ}D_{2}=\left\{ y | L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}\right\}
을 정의하면
D1D_{1}D2D_{2}는 서로 소이기 때문이다.
  • 더 자세히 말하자면, D1D_{1}의 모든 지점은 L1+ϵL_{1}+{\color{blue}\epsilon}보다 작은 값의 지점이며 D2D_{2}의 모든 지점은 L2ϵL_{2}-{\color{blue}\epsilon}보다 큰 값의 지점이다.
  • 2.에서 ϵ<L2L12\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}}이므로 (L2L_{2}L1L_{1}의 차이의 절반보다 작은 값이다.)
    L1+ϵ<L2ϵL_{1}+{\color{blue}\epsilon} < L_{2}-{\color{blue}\epsilon}
    이므로 D1D_{1}의 그 어느 점도 D2D_{2}의 원소가 될 수 없으면서 D2D_{2}의 그 어느 점도 D1D_{1}의 원소가 될 수 없다.

따라서 5.의 명제는 거짓이 되는 모순이 생긴다.

7. 6.에서 시작하여 어디서 거짓이 되었는가를 찾고자 거슬러 올라가고 거슬러 올라가기를 거듭함으로써, 처음 가정했던 0.이 거짓이 된다. 곧 수렴하는 극한값이 2개가 된다는 말은 거짓이며, 이는 귀류법에 따라 수렴하는 극한의 유일성이 증명된다.
3.1.1.3. 적어도 극한점임이 전제되어야 하는 이유[편집]
결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다.

0. 가정하기를 x=ax=aDD의 극한점이라는 전제가 없다고 하자.

1. 그럼 x=ax=aDD의 극한점이 아닌 경우가 존재한다.

2. 극한점의 조건을 보자.
x=ax=aDD의 극한점인 조건은 다음과 같다.
임의의 양수 cc에 대하여
({xac<x<a+c}\{a})D\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

이 명제의 부정은
어떤 양수 cc에 대하여
({xac<x<a+c}\{a})D = \left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset
이 된다.

3. 함수의 극한의 정의에서 다음 명제를 보자.
xDx \in D이고 xax \neq a, aδ<x<a+δa-\delta < x < a+\delta이면
Lϵ<f(x)<L+ϵL-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon이다.

4. 1.의 경우(충분히 나올 수 있다) 2.를 만족하는 cc를 가져와서 3.δ\deltaδc\delta \leq c를 만족하는 적당한 값으로 두자.(δ\delta를 충분히 작은 값으로 잡자.)

그러면 LL의 값과 관계 없이 3.에 제시된 명제의 가정에서 두 조건이 서로 모순된다.
1. xDx \in D
2. xax \neq a, aδ<x<a+δa-\delta < x < a+\delta
따라서 가정이 거짓이 되며, 가정이 거짓인 이유로 명제가 전체적으로 참이 되버리는 오류가 발생한다.

5. 이 때 LL의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다.

그러므로 적어도 x=ax=aDD의 극한점이라는 전제가 있어야 한다.

3.2. 수열의 극한[편집]

무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 xx에 대한 함수 f(x)f(x)가 자연수 nn에 대한 함수 an{\color{green}a_{n}}으로 바뀌었다고 생각해보자.)
무한수열 an{\color{green}a_{n}}에 대하여
아무 ϵ>0\epsilon > 0ϵ\epsilon을 잡더라도
상수 LL에 대하여 다음 명제 곧
자연수 nn에 대하여 n>Mn>{\color{blue}M}이면
Lϵ<an<L+ϵL-\epsilon< {\color{green}a_{n}} < L+\epsilon이다.
를 참이 되게 할 수 있는 적당한 자연수 M{\color{blue}M}을 항상 정할 수 있는 상수 LL이 존재할 때 ("최소한의"라는 뜻의 Minimal을 생각해보자. 교과서에 따라 MMNN으로 표기하기도 한다.)

무한수열 an{\color{green}a_{n}}LL으로 수렴한다고 말하며 (동치로서) 기호로는 limnan=L\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\color{green}a_{n}}=L으로 표기한다.

만일 해당되는 LL이 존재하지 않으면, 무한수열 an{\color{green}a_{n}}발산한다고 말한다.

이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, 샌드위치 정리의 성립, limn1n=0\displaystyle\lim_{n\to \infty}{{1}\over {n}}=0의 성립을 증명할 수 있다. (무한 수열에서 1n{{1}\over {n}}, 1n2{{1}\over {n^2}}, 1n3{{1}\over {n^3}} 등으로 바꿀 수 있는 부분은 00으로 안심하고날릴 수 있다. 다만 0으로 나누는 식이 되지 않도록 주의하자.)

4. 다른 공간에서 극한의 정의[편집]

4.1. 위상공간에서 극한의 정의[편집]

위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점(극한점)을 정의하게 된다.

4.1.1. 보통위상[보통위상]에서 변환하는 과정[편집]

앞의 엡실론-델타법에서 다루는 부등호 식은 바꿔보면 일종의 열린집합과 원소의 포함관계로 표시된다. (AA 초과 BB 미만의 모든 점의 집합을 (A, B)\left( A,\ B\right)과 같이 열린구간을 표시한다.)

  • 부등식을 집합식으로 변환
번호
부등식
집합식
1
xax \neq a, aδ<x<a+δa-\delta < x < a+\delta이다.
x(aδ, a+δ)\{a}x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\}이다.
2
아무 ϵ>0\epsilon > 0ϵ\epsilon을 잡더라도 Lϵ<f(x)<L+ϵL-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon이다.
아무 ϵ>0\epsilon > 0ϵ\epsilon을 잡더라도 f(x)(Lϵ, L+ϵ)f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right)이다.

여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 곧 위상수학에서 다루는 열린집합들로만 함수의 극한의 정의를 표현할 수 있다.

  • 엡실론-델타법에서 δ\delta 집합 부분 내용의 변화
위의 집합식에서, 각 ϵ\epsilon마다 f(x)(Lϵ, L+ϵ)f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right)이 될 수 있도록 어떤 양수 δ\delta가 존재하여 어떤 한 지점 aa을 포함하는 열린구간 (aδ, a+δ)\left(a-\delta ,\ a+\delta \right)을 두고 (aδ, a+δ)\{a}\left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\}으로 xx의 범위를 잡을 수 있다고 가정해보자. 그러면 해당 열린구간 (aδ, a+δ)\left(a-\delta ,\ a+\delta \right)은 열린집합이므로, 다음 두 비교가 나온다.
번호
1.1.
아무 ϵ>0\epsilon > 0ϵ\epsilon을 잡더라도 ... 양수 δ\delta가 존재하여 x(aδ, a+δ)\{a}x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\} 이다.
1.2.
아무 ϵ>0\epsilon > 0ϵ\epsilon을 잡더라도 ... aa를 포함하는 열린집합 OδO_{\delta}가 존재하여 xOδ\{a}x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\} 이다.

앞에서 1.1.이면 1.2.이라는 설명이 있으므로, 1.2.이면 1.1.이라는 설명을 해보자. aa를 포함하는 OδO_{\delta}를 아무 거나 가져온다고 하자면, 그 지점 aa는 그 열린집합 OδO_{\delta}의 내점(interior point)이니 적당한 양수 δ1\delta_{1}를 가져오면 a(aδ1, a+δ1)Oδa \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta}가 된다. 이 열린집합이 존재함을 보이는 것만으로도 a(aδ1, a+δ1)Oδa \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta}를 만족하는 적당한 δ1\delta_{1}는 존재하고 곧 엡실론-델타법에서 말하는 δ\delta 열린구간을 찾는 것이 되므로 극한을 가진다고 말할 수 있다.

이로써 "ϵ\epsilon값이 어떠하더라도 f(x)(Lϵ, L+ϵ)f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right)이 될 수 있는, aOδa \in O_{\delta}인 열린집합 OδO_{\delta}가 존재할 때 f(x)f\left(x\right)x=ax=a에서 극한을 가진다"고 바꿀 수 있다. 곧 델타를 다루는 설명을 열린집합을 다루는 설명으로 바꾸는 것이다.

  • ϵ\epsilon 집합 부분의 변화
2번 식을 보자. (f(x)f\left(x\right)의 범위를 다루는 부분인데, 다음 두 비교를 보자.
번호
2.1.
아무 ϵ>0\epsilon > 0ϵ\epsilon을 잡더라도 ... aa를 포함하는 열린집합 OδO_{\delta}가 존재하여 xOδ\{a}x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\} 이면 f(x)(Lϵ, L+ϵ)f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right)이다.
2.2.
아무 LOϵL \in O_{\epsilon}인 열린집합 OϵO_{\epsilon}을 잡더라도 ... aa를 포함하는 열린집합 OδO_{\delta}가 존재하여 xOδ\{a}x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\} 이면 f(x)Oϵf\left(x\right) \in O_{\epsilon}이다.

먼저 2.1.이면 2.2이라는 설명을 해보자.

LL 지점을 포함하는 아무 열린집합 OϵO_{\epsilon}을 가져온다고 하면 LLOϵO_{\epsilon}의 내점이므로 적당한 양수 ϵ1\epsilon_{1}을 가져오면 다음을 만족한다.
L(Lϵ1, L+ϵ1)OϵL \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon}

이 때 2.1.이라면 ϵ=ϵ1\epsilon=\epsilon_{1}인 경우에서 x=ax=a지점을 포함하는 적당한 열린집합 Oδ1O_{\delta_{1}}가 존재하므로 다음을 만족한다.
xOδ1\{a}x \in O_{\delta_{1}} \backslash \left\{ a \right\} 이면 f(x)(Lϵ1, L+ϵ1)f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon_{1} ,\ L+\epsilon_{1} \right)이다.

L(Lϵ1, L+ϵ1)OϵL \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon} 이 되므로 곧 다음을 만족한다.
xOδ\{a}x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\} 이면 f(x)Oϵf\left(x\right) \in O_{\epsilon}이다.

이것으로 2.1.이면 2.2이다.

반대로 2.2이면 2.1.이 됨을 설명해보자면 2.2.에서 아무 LOϵL \in O_{\epsilon}인 열린집합이므로, Oϵ=(Lϵ, L+ϵ)O_{\epsilon}=\left(L-\epsilon,\ L+\epsilon\right)으로 두면 각 ϵ\epsilon마다 적당한 열린집합 OδO_{\delta}가 존재하므로 설명은 충분하다.

4.1.2. 변환[편집]

위상에 대한 설명을 하려면 열린집합에 대한 설명으로 번역(?)해야 한다. 다음은 (앞의 변환 과정을 통해 얻는) 보통위상의 R\mathbb{R}에서 극한의 정의가 된다.
정의역을 DD로 가지는 xx에 대한 함수 ff가 있고 aa가 (위상에서) DD의 집적점일 때,
아무 LOϵL \in O_{\epsilon}인 열린집합 OϵO_{\epsilon}을 잡더라도
aa를 포함하는 열린집합 OδO_{\delta}가 존재하여 xOδ\{a}x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\} 이면 f(x)Oϵf\left(x\right) \in O_{\epsilon}일 경우
함수 ffx=ax=a에서 극한을 가진다고 말한다.

여기에서 위상수학에서 다루는 부분으로 넘어가서 정의를 해보자면 몇 가지의 제약조건이 더 생기게 된다. 앞의 엡실론 델타법은 정의역이 보통위상의 집합 R\mathbb{R}의 부분집합이고 공역이 보통위상의 집합 R\mathbb{R}인 함수에 대해서 다뤘다면, 위상공간에서는 일반적으로 위상이 있는 집합의 정의역인 부분집합에서 위상이 있는 공역 집합으로 가는 함수에 대해서 다루어야 하며 정의역과 공역은 그 위상이나 집합이 서로 다를 수 있기 때문이다.

먼저 어디가 정의역 집합의 위상에 대한 열린집합이며 어디가 공역 집합의 위상에 대한 열린집합인지를 구분해야 할 필요가 있다.

가지는 극한은 위상에 따라 다를 수 있으며 또 유일하지 않을 수 있다. (R\mathbb{R}의 유한여집합위상 등)

4.2. 변수가 2개 이상인 경우[편집]

변수가 2개 이상이 되면 각 변수들은 독립적이므로 서로 수직인 축들이 2개 이상으로 되어 있는 R2\mathbb{R}^{2}, R3\mathbb{R}^{3} 평면, (3차원) 공간 등 nn차원 (유클리드)공간에서 점의 좌표와 점과 점 사이의 거리를 이용한 (위상으로) 극한을 정의한다.

5. 연속[편집]

6. 여담[편집]

극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 an=a_{n}=11, 00, 11, 00, 11, 00, \ldots에 대하여 "0011이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 12{{1}\over{2}}가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다. 엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만.

7. 관련 문서[편집]

  • 연속 (continuous)
  • 미분 : 블록을 조립하거나 큐브를 만지작거리듯이 식을 이리 저리 바꾸는 풀이에 익숙할 수 있겠지만, 원리를 보자면 극한을 이용하여 계산할 수 있는 방법 중 하나이다.
[보통위상] 1.1 1.2 1.3 실수 전체 집합 R\mathbb{R}에서의 "보통위상(Usual Topology)" 곧 "R\mathbb{R}에서 열린 구간(이를테면 {xa<x<b, a,bR}\left\{x|a<x<b, \ a,b \in \mathbb{R}\right\})들, 또는 이들의 임의의 합집합(무한 개의 합집합이여도 된다.), 또는 이들의 유한 개의 교집합으로 구성된 R\mathbb{R}의 부분집합을 원소로 가지는 집합 T\mathcal{T}(이 집합은 당연히 P(R)\mathcal{P}(\mathbb{R})의 부분집합이다.)을 갖춘 위상"에서는 집적점(accumunation point)을 극한점(limit point)으로 부른다. 고등학교 과정에서 배우는 극한은 특별한 언급이 없다면 모두 보통위상에서의 극한이다.[2] 이는 0<xa<δ0 < \left\| x-a \right\| < \delta와 동치이며, 여기에서 꼭 x=ax=a일 필요는 없음이 나타닌다.[3] 이는 0 f(x)L<ϵ{\color{gray}0\leq \ }\left\| f \left(x \right)-L \right\| < \epsilon와 동치이다. 회색으로 칠한 부등호(00\leq ) 부분은 f(x)f \left(x \right)LL의 오차가 00으로 나오는 경우(f(x)=Lf \left(x \right)=L이 성립하는 경우. 잘 아는 예로는 함숫값이 xx의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.