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위상수학

분류
1. 개요2. 열린집합과 위상
2.1. 실수체계의 위상
2.1.1. 내점2.1.2. 열린집합
2.2. 위상공간
2.2.1. 위상과 열린집합

1. 개요[편집]

Topology / 位相數學
위상수학은 공간 또는 도형의 구조와 연속성을 다루는 수학의 한 학문이다.

2. 열린집합과 위상[편집]

위상수학에서는 실수체계에서 열린구간들로 확인할 수 있는 실수 집합의 각 원소들 사이의 관계와 실수체계의 구조를 보고, 이를 이용하여 실수 전체의 집합만이 아닌 일반적인 집합의 구조를 볼 수 있다. 이것을 확인하는 계산의 기초로서 위상 및 위상의 한 요소인 열린집합의 설명을 먼저 서술한다.

2.1. 실수체계의 위상[편집]

2.1.1. 내점[편집]

내점 (Interior point)
R\mathbb{R}의 부분집합 AA가 있다고 하자.
이 때 AA의 원소(한 지점)인 pp에 대하여 적당한 양의 상수 cc가 있어 {x∣a−c<x<a+c}⊂A\left\{x | a-c<x<a+c\right\} \subset A를 만족한다면, pp는 AA의 내점(interior point)이라 부른다.
pp는 점을 뜻하는 단어인 " point"에서, cc는 상수를 뜻하는 단어인 "constant"의 앞글자를 가져왔다.

집합이 있어야 내점을 논할 수 있다. 그리고 어떤 (부분)집합의 원소 pp가 내점임을 보이려면 적당한 cc가 존재하고 상기 조건을 만족함을 보이는 것으로 충분하다.

2.1.2. 열린집합[편집]

  • 열린집합의 정의
정의(definition)에는 앞서 보았던 내점(interior point)이 이용된다. 열린집합은 "개폐"할 때의 '개'를 써서 "개집합"이라고도 부른다.
열린집합(Open Set)
R\mathbb{R}의 부분집합 AA가 있고 AA의 모든 원소(지점)이 AA의 내점이 된다면, AA는 열린집합(open set)이라 부른다.

열린집합의 흔히(?) 잘 아는 예시로는 열린구간이 있다. (열린구간에 포함되는 열린구간이 있다.)
열린구간은 집합으로서 실수 aa, bb에 대하여 (a, b)={x∣a<x<b}\left( {\color{blue}a},\ {\color{green}b} \right) = \left\{x|{\color{blue}a}<x<{\color{green}b}\right\}으로 표기한다.
이 집합의 임의의 원소(지점)인 pp를 가져온다고 하면 a<p<b{\color{blue}a}<p<{\color{green}b}가 되는데 양수 cc를 다음으로 둔다고 하자.
c=min⁡{∣p−a∣, ∣p−b∣}c=\min \left\{ \left|p-a\right|,\ \left|p-b\right|\right\} 곧
c=min⁡{p−a, b−p}c=\min \left\{ p-a,\ b-p\right\}
min⁡\min은 minimum을 뜻하는데, { } 괄호 안의 2개 이상의 값들 중 가장 작은 값을 고르는 연산이다.
이렇게 되면 (p−c, p+c)⊂(a, b)\left(p-c,\ p+c\right) \subset \left( {\color{blue}a},\ {\color{green}b} \right)를 만족하게 되고, 곧 집합 (a, b)\left( {\color{blue}a},\ {\color{green}b} \right)의 모든 점이 내점임을 보이는 것이다.

당연하게 보이겠지만 R\mathbb{R} 역시 열린집합이다.

공집합(∅\emptyset)은 원소도 없는 집합이면서도 내점이 없는 집합이다. (공집합의 내점을 모두 모은 집합이 공집합 자기자신이다.) 공집합은 따라서 열린집합이다.
  • 열린집합의 성질
열린집합의 성질은 다음을 만족한다.
열린집합의 성질
자연수 ii[색인] 와 임의의 열린집합 O1O_{1}, O2O_{2}, O3O_{3} ... OiO_{i} ... 에 대하여
  1. 여러 개 또는 무한 개의 OiO_{i}들의 합집합은 열린집합이다.
  2. O1∩O2O_{1} \cap O_{2} 곧 두 열린집합의 교집합 (내지 유한 개의 열린집합들의 교집합)은 열린집합이다.
O1O_{1}, O2O_{2} 등등은 "open set"의 앞글자를 따왔다.

먼저 1.의 집합은 (일정 조건을 만족하는 Σ\Sigma[2]의 의미를 안다면 이와 비슷하게 합집합으로도 나타낼 수 있다. 색인(번호[색인])을 모아놓은 집합을 II라 두면, ⋃i∈IOi\underset{i \in I}{\bigcup}O_{i}으로 나타낼 수 있다.) 보면 그 어느 원소(지점)인 pp를 잡으면, 반드시 어떤 ii가 있어 한 열린집합인 OiO_{i}의 내점이 되면서 적당한 양수 cc가 있어 (p−c, p+c)⊂Oi\left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{i}가 된다. 합집합의 특성상 1.의 집합은 OiO_{i}을 부분집합으로 가진다. 이에 따라 당연히 (p−c, p+c)\left(p-c,\ p+c\right) 을 부분집합으로 가진다.

2.의 집합 O1∩O2O_{1} \cap O_{2}가 공집합이 되는 경우와 그렇지 않은 경우를 보자.
O1∩O2O_{1} \cap O_{2}가 공집합이 된다면 공집합은 열린집합이므로 O1∩O2O_{1} \cap O_{2}은 열린집합이다.
이제 O1∩O2O_{1} \cap O_{2}가 공집합이 되지 않는 경우를 보자. 이 경우에 O1∩O2O_{1} \cap O_{2}는 어떤 원소(지점)을 가진다. O1∩O2O_{1} \cap O_{2}의 원소(지점) 중 아무 원소(지점)인 pp를 가져온다고 하자. 그러면 교집합의 성질에 따라서 p∈O1p \in O_{1}과 p∈O2p \in O_{2}를 만족한다.
O1O_{1}과 O2O_{2}는 열린집합이므로 pp는 O1O_{1}의 내점이면서 O2O_{2}의 내점이다. 따라서 적당한 양의 상수 c1c_{1}, c2c_{2}에 대하여 다음을 만족한다.
p∈(p−c1, p+c1)⊂O1p∈(p−c2, p+c2)⊂O2p \in \left(p-c_{1},\ p+c_{1}\right) \subset O_{1} \\ p \in \left(p-c_{2},\ p+c_{2}\right) \subset O_{2}
이 때 c=min⁡{c1, c2}c=\min \left\{c_{1},\ c_{2}\right\}으로 두면 다음을 만족한다.
p∈(p−c, p+c)⊂O1p∈(p−c, p+c)⊂O2p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{1} \\ p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{2}
곧 p∈(p−c, p+c)⊂O1∩O2p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{1} \cap O_{2}이며, 이는 곧 pp가 O1∩O2O_{1} \cap O_{2}의 내점이 됨을 보이는 것이다.
같은 방법으로 유한개의 열린집합의 교집합 곧 자연수 nn에 대하여 ⋂k∈Nk≤nOk\overset{k \leq n}{\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}}O_{k}은 열린집합이 됨을 보일 수 있다.

일반적으로 무한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이 되지 않는다. 이를테면 ⋂k∈N(−1, 1k)\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}\left(-1,\ \dfrac{1}{k}\right)가 있다. 이 집합을 AA라고 하면 00은 AA의 원소이나, 0보다 큰 모든 수는 AA의 원소가 아니다. (이는 아르키메데스의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.) AA에서 0∈(0−c, 0+c)⊂A0 \in \left(0-c,\ 0+c\right) \subset A를 만족할 양의 상수 cc가 존재하지 않으므로 00은 AA의 내점이 아니며 따라서 AA의 원소 중 내점이 아닌 원소가 존재하기 때문에 AA는 열린집합이 아니다.

2.2. 위상공간[편집]

실수체계의 모든 열린집합들은 R\mathbb{R}의 부분집합이다. 이것 그리고 열린집합의 성질을 퍼가요~♡ 따와서 일반적인 집합으로 다루는 범위를 넓힌다. 미지수나 변수를 흔히 xx, yy로 적는 것처럼 다룰 집합을 XX, YY 등으로 적는다.

실수체계에서 집합의 내점을 먼저 정의한 다음 열린집합을 정의하고 열린집합의 성질을 찾고 그런 열린집합을 모아놓은 멱집합의 부분집합을 찾는다면, 일반적인 집합으로 넘어가서는 이 순서를 반대로 하여 열린집합의 성질(과 같은 일정 규칙)을 만족하는 멱집합의 부분집합을 찾은 다음 열린집합을 정의하고, 집합의 내점을 정의하게 된다.

2.2.1. 위상과 열린집합[편집]

앞에 다루었던 실수체계에서 열린집합은 원소(지점)이 해당되는 내점의 정의에 따른 내점이다. 이런 모든 열린집합들로 구성된 구조는 실수체계의 통상적인 구조이다. 이러한 열린집합을 모두 모아놓은 집합은 R\mathbb{R}의 멱집합(power set, 모든 부분집합들을 원소로 가지는 집합) 곧 P(R)\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right)의 부분집합이며 단어 "usual(통상적인)"의 앞글자를 따서 UU로 둔다. UU는 다음과 같다. P\mathcal{P}는 PP의 흘림체이다. 그리고 UU는 U의 흘림체인 U\mathcal{U}로 표기하는 경우가 많은데, 여기에는 UU로 표시 해둔다.[4]
U={S∈R ∣ ∀p∈S, ∃cp>0 such that (p−cp, p+cp)⊂S}U=\left\{S \in \mathbb{R}\ |\ \forall p \in S,\ \exists c_{p}>0\ \text{such that}\ \left(p-c_{p},\ p+c_{p}\right)\subset S\right\}

이제 일반적인 집합의 경우를 보자. 집합 XX가 있으면 집합 XX의 멱집합인 P(X)\mathcal{P}\left(X\right)가 있다. 앞에 다루었던 실수체계의 열린집합의 성질처럼, 모종의 일정한 규칙들을 만족하는 멱집합 P(X)\mathcal{P}\left(X\right)의 부분집합을 일종의 구조(집합)로서 가져올 수 있고, 그런 구조(집합)의 구성요소(원소)를 열린집합으로 둔다. (당연히 구조가 다르면 그 구성요소도 다르다.)

다음의 표로 비교할 수 있다.
실수집합 (비교할 대상)
일반적인 집합
실수집합 R\mathbb{R}과 그 멱집합 P(R)\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right)
집합 XX와 그 멱집합 P(X)\mathcal{P}\left(X\right)
P(R)\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right)의 부분집합 UU이 존재하여 다음을 모두 만족한다.
  1. ∅, R∈U\emptyset,\ \mathbb{R} \in U
  2. 임의의 색인 집합 IUI_{U}에 대하여 i∈IUi \in I_{U}, Oi∈UO_{i} \in U이면 ⋃i∈IUOi∈U\underset{i \in I_{U}}{\bigcup}O_{i} \in U 이다. 곧 여러 개 또는 무한 개의 열린집합들의 합집합은 열린집합이다.
  3. 자연수 nn, kk에 대하여 Ok∈UO_{k} \in U이면 ⋂k∈Nk≤nOk∈U\overset{k \leq n}{\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}}O_{k} \in U이다. 곧 유한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이다.
P(X)\mathcal{P}\left(X\right)의 부분집합 TT가 존재하여 다음을 모두 만족한다.
  1. ∅, X∈T\emptyset,\ X \in T
  2. 임의의 색인 집합 ITI_{T}에 대하여 i∈ITi \in I_{T}, Oi∈TO_{i} \in T이면 ⋃i∈ITOi∈T\underset{i \in I_{T}}{\bigcup}O_{i} \in T 이다. 곧 TT의 여러 개 또는 무한 개의 원소들의 합집합은 해당 집합 TT의 원소이다.
  3. 자연수 nn, kk에 대하여 Ok∈TO_{k} \in T이면 ⋂k∈Nk≤nOk∈T\overset{k \leq n}{\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}}O_{k} \in T이다. 곧 TT의 유한 개의 원소들의 교집합은 TT의 원소이다.

여기서 TT가 존재한다면 이를 집합 XX의 위상(Topology)이라고 부른다. 머리글자를 따서 집합을 TT로 표기하며, 경우에 따라 서로 다른 집합의 위상임을 나타내고자 경우 TXT_{X}, TYT_{Y}처럼 T의 오른쪽 밑에 각 위상의 근원을 표기할 수 있다. 존재할 수 있는 TT를 찾아보면 간단히 원소가 딸랑 2개만 있는 {∅, X}\left\{ \emptyset ,\ X \right\}부터 여러 가지가 나올 수 있다.

집합 XX 그리고 XX의 위상인 TT가 있을 때, TT의 원소를 열린집합(open set)이라고 부른다.

집합 XX가 유한집합(원소가 유한 개인 집합)인 경우에도 위상을 말할 수 있다.
가령 X={1}X=\left\{1\right\}일 경우 T={∅, {1}}T=\left\{ \emptyset,\ \left\{ 1 \right\} \right\}는 XX의 위상이다.

집합 XX가 실수집합 R\mathbb{R}인 경우, 규칙만 만족한다면 실수집합에서 새로운 위상 TT를 찾을 수 있다. 앞의 UU는 R\mathbb{R}의 위상인데, 여러 다른 위상들과 비교하고자 UU를 (R\mathbb{R}의) 보통위상(usual topology)이라 부른다.

[색인] 1.1 1.2
"색인"이라는 뜻의 단어 index의 앞글자인 i를 가져와서 표기한다. 추려내는 대상들의 각각에 색인(또는 라벨)을 매기는 방법은 R\mathbb{R}의 각 원소로 매기는 등 여러 가지가 있다. 엄밀히 말하면 모든 실수를 모아놓은 집합인 R\mathbb{R}의 원소의 수는 모든 자연수를 모아놓은 집합인 N\mathbb{N}보다 더 많아서 색인은 N\mathbb{N}보다 더 많이 나올 수 있다.(자세한 설명은 실수체계의 가산집합 부분을 참조.) 그래서 ii의 범위를 자연수로 두기에는 갯수가 모자라지만, 여기서는 색인을 순번 매기기처럼 이해할 수 있도록 색인을 다룬다.
i 하면 허수 단위 ii를 떠올릴 수 있겠지만, 무작정 이렇게 알기보다는 어느 수식을 읽는다 해도 먼저 각 알파벳을 포함한 기호들이 무슨 의미로 쓰이는지를 파악하면서 읽는 것이 좋다.
[2] 흔히 Σ\Sigma 기준으로 밑첨자에는 k=1k=1을 적어놓고 윗첨자에는 nn을 적어놓고 오른쪽에는 kk에 대한 함수 같은 식을 적어놓은 식을 읽고는, kk가 1인 경우의 값부터 2인 경우의 값, ... , nn인 경우의 값까지를 모두 합한 값으로 읽는데, 계산할 변수들과 해당 조건의 나열만 (집합처럼) 명확히 알 수 있게 적어놓는 방식으로 조건에 따라 변수를 대입한 각 경우의 값들의 합으로 볼 수 있다. 무한등비급수를 예로 들자면 자연수 전체의 집합을 나타내는 N\mathbb{N}을 이용하여 ∑k∈Nak{\underset{k \in \mathbb{N}}{\sum}a_{k}}처럼 k∈Nk \in \mathbb{N}만 Σ\Sigma의 밑에 적어만 두어도 위에 굳이 ∞\infty를 쓸 필요가 없이 1부터 모든 자연수를 가리킨다는 의미가 되어 충분하다.[4] 사실 22년 9월 19일 기준 underset 범위 안에서 아래첨자 범위 안에 mathcal 구문을 입력할 경우 표시가 나오지 않고 구문이 깨지는 오류가 있다. 아래 비교표 구문의 i \in I_{U} 를 i \in I_{\mathcal{U}} 으로 바꿔보자.