실수체계

The Real Number System
실수에 대하여 어떤 성질을 만족하는 체계이다. "Real"이라는 단어를 보고 "레알 넘버"니까 참된 숫자라고 혹여 다르게 생각할 수 있겠으나, 기준이 되는 $0$과 $1$을 기점으로 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질 등 여러 성질을 만족하면서 현실에서 대소를 비교할 수 있는 숫자들의 체계를 가리킨다.
여기에는 사칙연산만 안다면 직관적으로도 알 수 있는 성질들이 많기도 하며, 또한 별도 증명이 없이 시작하는 공리(Axiom)들로 도배되어 있다.
이를 기점으로 여러 정리들이 이루어진다. 이를테면 음수에 음수를 곱하면 양수가 됨을 증명(...)하는 것.

공리, 정리에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있으며, 집합에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있다.

다음은 실수에 대한 성질을 공리들을 다루는 것으로 시작한다.
(논리체계를 시작으로 하여 $1 \in \mathbb{C}$, $1 \neq 0$을 공리로 둔 다음 여러 논리체계의 정리를 거쳐 $1 \in \mathbb{R}$이 성립함을 증명한 곳(...)도 있다. 여기서 $\mathbb{C}$는 모든 복소수들을 모아놓은 집합이다. 복소수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 실수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 둘 중 하나는 공리로 둘 수 밖에 없다. 단, 허수에 대하여 $i \in \mathbb{C}$는 둘 중 어느 방법으로 하든 공리로 둔다.)

또한 집합론에서 두 원소를 두고 "관계"(relation)를 정의하면서 "연산"을 정의하고 시작한다. 이는 (단순 모든 실수의 집합만이 아닌 일반적인 집합에 대한 개념을 다루는 까닭에) 내용이 방대하므로 (고등학교 과정에서는 배우지 않는다.) 집합 문서의 서술로 남겨두고 여기에는 생략한다.

다음은 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질이다.

다음은 대소비교에 대한 성질이다.

기타 : 위의 13.에서 i.부터 iii.까지 설명의 대상이 되는 부등식들을 호출하려면 각각 math라는 입력 구문 구간(마크업)[3]을 전제하여 \geq, \leq, \neq 구문을 입력해야 한다. 프로그래밍에서 입력 속도를 높이기 위해 단축키를 사용하는 것처럼 축약어로 입력 구문을 정의하는 방식을 많이 채택한다. 위의 칸에 볼드체한 표시는 문구에서 축약된 머릿글자를 의미한다.)

보기에도 당연해 보이는 것을 왜 증명해야 하는지 생각할 수 있지만, 참인지 거짓인지 명확하지 못하는 전제를 두고 증명을 하는 일은 의미가 없다. 반례가 것이 전혀 없는지도 불확실하기 때문. (이는 다른 정리나 명제를 증명할 때에도 동일하다.) 그래서 참이라고 여기는 것을 시작으로 여러 가지 성질을 증명하는 것이다.

임의의 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 몇 가지 증명을 해본다. (앞에서 언급된 $a$, $b$, $c$는 문자를 빌려 표현한 것이며 여기서 언급하는 $a$, $b$, $c$와 독립이다.)

곱셈 기호에서 $\times$와 $•$를 병행하여 사용함을 밝힌다.

먼저 $0 \in \mathbb{R}$이 성립하므로 다음이 성립한다.

(이 증명에 사용되는 $a$, $b$는 다른 증명과 독립이다.)
1. $a$와 $0$은 각각 실수이므로 이 둘의 곱인 $a \times 0$은 실수이다. (Axiom 1.6. 곱셈연산의 닫힘)

2. 1.에서 $a \times 0$에 대하여 다음 둘을 만족한다.

3. 앞의 Lemma 1.1을 이용하여 2.의 ii.을 다음과 같이 바꿀 수 있다.

곧 위 식에서 파랗게 칠한 $0$을 이용한다.

4 3.에서 $a \times (0+0)$에 대하여 ($a$와 $0$은 각각 실수이므로) 다음을 만족한다. (Axiom 1.11. 분배법칙)])

따라서 다음을 만족한다. (파랗게 칠한 부분)

5. 4.의 식에서 ${\color{blue}(a \times 0 + a \times 0)}+(-(a \times 0))=0$의 (파랗게 칠한 부분의) 괄호를 옮기면 다음과 같이 된다. (Axiom 1.3. 덧셈에 대한 결합법칙)

6. 5.에서 2.의 ii.을 이용하여, 다음을 얻는다. (Axiom 1.5. 덧셈에 대한 $a \times 0$의 역원 ${\color{green}-(a \times 0)}$)

7. 6.에서 2.의 i.을 이용하여, 다음을 얻는다. (Axiom 1.4. 덧셈에 대한 $a \times 0$의 항등원 ${\color{blue}0}$)

따라서 $a \times 0 =0$이 성립한다.

(앞의 증명에 사용된 $a$, $b$와 이 증명에 사용되는 $a$, $b$는 독립이다.)

1. $0$은 덧셈연산에 대한 $a$의 항등원이면서 덧셈연산에 대한 $b)$의 항등원이다. (Axiom 1.4 덧셈연산에 대한 항등원)

2. 또한 $a$에 대하여 $-a)$가 존재하고 $a+(-a)=0$을 만족한다. 마찬가지로 $b$에 대하여 덧셈연산의 역원인 $-b$가 존재하고 $b+(-b)=0$이다. (Axiom 1.5. 덧셈연산에 대한 항등원 및 역원)

3. $a$와 $b)$, $-a$, $-b$는 각각 실수이므로 $a \times b$은 실수이며 $(-a) \times (-b)$은 실수이다. (Axiom 1.6. 곱셈연산의 닫힘)

4. 실수에 $0$을 곱하면 $0$이 되므로 ${\color{blue}0} \times b = 0$이다. (Theorem 1.4)

5. 2.에서 실수 $a$에 대하여 $a+(-a)={\color{blue}0}$이므로 다음이 성립한다.