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극한(비교)

r29 vs r34
......
88
99
== 엡실론‐델타법 ==
1010
고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합과 명제(멱집합), 부등호, 절댓값, 함숫값 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition)이므로 이해하기 쉬울 수 있다. 기호를 풀어 쓰면 다음과 같다.
11
* 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자.
12
* 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자.
13
* (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.)
14
* (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.)
1115
12
=== 어떤 지점에 대한 함수의 극한 ===
13
[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]에 대하여 [math(f\left(x\right))]의 정의역(집합)을 [math(D)]라 하자.
14
16
=== 어떤 지점에서의 함수의 극한 ===
1517
[math(x \to a)]의 경우는 다음과 같이 된다.
1618
17
들어가기 앞서 [math(f\left(x\right))]의 정의역에 대하여
18
[math(x=a)]가 [math(D)]의 __내점(Interior point)__이어야 한다. (함수의 정의역은 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 경우만 있는 것이 아니고, 복잡하게 제한되는 경우가 있기 때문이다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.)
19
들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다.
20
||[math(f\left(x\right))]의 정의역에 대하여 [math(x=a)]가 __[math(D)]의 극한점(limit point)__[* 실수 전체 집합 [math(\mathbb{R})]에서의 "보통위상(Usual Topology)" 곧 "[math(\mathbb{R})]에서 열린 구간(이를테면 [math(\left\{x|a<x<b, \ a,b \in \mathbb{R}\right\})])들, 또는 이들의 임의의 합집합(무한 개의 합집합이여도 된다.), 또는 이들의 유한 개의 교집합__으로 구성된 [math(\mathbb{R})]의 부분집합을 원소__로 가지는 집합 [math(\mathcal{T})](이 집합은 당연히 [math(\mathcal{P}(\mathbb{R}))]의 부분집합이다.)을 갖춘 위상"에서는 집적점(accumunation point)을 극한점(limit point)으로 부른다.]일 것.||
21
* 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 [math(x)]의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역이 복잡하게 제한되는 경우가 있다. (이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.)
22
그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 [math(x)]의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다.
1923
20
[math(x=a)]가 [math(D)]의 내점임을 보이려면 다음 명제를 증명해야 한다.
21
||[math(a \in \left\{x|a-c<x<a+c\right\} \subset D)]
22
를 만족하는 적당한 양수 [math(c)]가 존재한다.||
24
* [math(x=a)]가 "[math(D)]의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 [math(a \in D)]일 필요는 없다.)
25
||임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여
26
[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
27
임을 보여야한다.
28
* [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이어도 충분하다. 왜냐면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 __곧 극한점이 되기 때문__.
29
{{{#!folding [내용 보기, 접기]
30
* 먼저 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이려면 내점의 정의에 따라 다음을 만족해야 한다.
31
||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)]
32
를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.||
33
1. 여기에서
34
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]||
35
이므로
36
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
37
을 만족한다. ([math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자.)
38
1. [math(c_{2} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math(c_{2})]에 대하여
39
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]||
40
이므로
41
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
42
을 만족한다. ([math(a-c_{2})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자.)
43
1. 따라서 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math(c_{2})]를 [math(c_{1})]과 [math(c)]중 작은 값으로 두자. 그러면
44
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
45
의 식을 만족한다.
46
[math(c \leq c_{1})]이면 2번과 같은 방법으로 성립되며, [math(c > c_{1})]이면 1번에서
47
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]||
48
이 되기 때문에 성립한다.
49
* 그러므로
50
||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
51
을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.}}}
2352
24
[math(x=a)]가 [math(D)]의 내점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
53
[math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
2554
||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여
2655
아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 error를 생각해보자.)
2756
상수 [math(L)]에 대하여 다음 명제 곧
28
> [math(x \neq a)]이고 [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면[* 이는 [math(0 < \left\| x-a \right\| < \delta)]와 동치이며, 여기에서 꼭 [math(x=a)]__일 필요는 없음__이 나타닌다.]
57
> __[math(x \in D)]이고__ [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면[* 이는 [math(0 < \left\| x-a \right\| < \delta)]와 동치이며, 여기에서 꼭 [math(x=a)]__일 필요는 없음__이 나타닌다.]
2958
> [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.[* 이는 [math({\color{gray}0\leq \ }\left\| f \left(x \right)-L \right\| < \epsilon)]와 동치이다. 회색으로 칠한 부등호([math(0\leq )]) 부분은 [math(f \left(x \right))]와 [math(L)]의 오차가 [math(0)]으로 나오는 경우([math(f \left(x \right)=L)]이 성립하는 경우. 잘 아는 예로는 함숫값이 [math(x)]의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.]
3059
를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 양수 [math(\delta)]를 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 difference를 생각해보자.)
3160
......
3362
3463
만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 '''발산한다'''고 말한다. ||
3564
65
* 만일 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없으면 (특히 어떤 값으로 수렴함을 보이는 과정에서) 문제가 발생한다. 앞의
66
||임의의 양수 [math(c)]에 대하여
67
[math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
68
명제의 부정은
69
||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여
70
[math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]||
71
이 된다.
72
여기에서 문제점이 생기게 된다. 왜냐면 앞에 말한 함수의 극한의 정의에서 다음
73
> [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면
74
> [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.
75
라는 명제에서 문제점이 발생하기 때문인데, [math(x=a)]를 제외한 나머지 [math(D)]의 [math(x)]의 지점 가운데 [math(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} )] 에 포함되는 지점에서는 '''함숫값이 존재하지 않기 때문에 명제가 거짓'''이 되는 오류가 발생하기 때문이다. (발산한다.)
76
3677
=== 수열의 극한 ===
3778
무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f(x))]가 자연수 [math(n)]에 대한 함수 [math({\color{green}a_{n}})]으로 바뀌었다고 생각해보자.)
3879
||무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]에 대하여
......