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극한(비교)

r31 vs r36
......
99
== 엡실론‐델타법 ==
1010
고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합과 명제(멱집합), 부등호, 절댓값, 함숫값 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition)이므로 이해하기 쉬울 수 있다. 기호를 풀어 쓰면 다음과 같다.
1111
* 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자.
12
* 공역을 [math(\mathbb{R})]로 둔 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자.
12
* 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자.
1313
* (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.)
1414
* (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.)
1515
......
2222
그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 [math(x)]의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다.
2323
2424
* [math(x=a)]가 "[math(D)]의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 [math(a \in D)]일 필요는 없다.)
25
||임의의 양수 [math(c)]에 대하여
26
[math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
25
||임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여
26
[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
2727
임을 보여야한다.
2828
* [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이어도 충분하다. 왜냐면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 __곧 극한점이 되기 때문__.
29
{{{#!folding [내용 보기, 접기]
30
* 먼저 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이려면 내점의 정의에 따라 다음을 만족해야 한다.
31
||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)]
32
를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.||
33
1. 여기에서
34
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]||
35
이므로
36
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
37
을 만족한다. ([math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많다.)
38
1. [math(c_{2} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math(c_{2})]에 대하여
39
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]||
40
이므로
41
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
42
을 만족한다. ([math(a-c_{2})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자.)
43
1. 따라서 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math(c_{2})]를 [math(c_{1})]과 [math(c)]중 작은 값으로 두자. 그러면
44
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
45
의 식을 만족한다.
46
[math(c \leq c_{1})]이면 2번과 같은 방법으로 성립되며, [math(c > c_{1})]이면 1번에서
47
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]||
48
이 되기 때문에 성립한다.
49
* 그러므로
50
||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
51
을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.}}}
2952
3053
[math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
3154
||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여
......