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극한(비교)

r36 vs r37
......
2727
임을 보여야한다.
2828
* [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이어도 충분하다. 왜냐면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 __곧 극한점이 되기 때문__.
2929
{{{#!folding [내용 보기, 접기]
30
* 먼저 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이려면 내점의 정의에 따라 다음을 만족해야 한다.
31
||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)]
30
* 먼저 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이려면 내점의 정의에 따라 다음을 만족해야 한다.
31
||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)]
3232
를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.||
33
1. 여기에서
34
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]||
35
이므로
36
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
37
을 만족한다. ([math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많다.)
38
1. [math(c_{2} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math(c_{2})]에 대하여
39
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]||
40
이므로
41
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
42
을 만족한다. ([math(a-c_{2})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자.)
43
1. 따라서 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math(c_{2})]를 [math(c_{1})]과 [math(c)]중 작은 값으로 두자. 그러면
44
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
45
의 식을 만족한다.
46
[math(c \leq c_{1})]이면 2번과 같은 방법으로 성립되며, [math(c > c_{1})]이면 1번에서
47
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]||
48
이 되기 때문에 성립한다.
49
* 그러므로
50
||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
51
을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.}}}
33
1. 여기에서
34
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]||
35
이므로
36
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
37
을 만족한다. ([math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많다.)
38
2. [math(c_{2} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math(c_{2})]에 대하여
39
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]||
40
이므로
41
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
42
을 만족한다. ([math(a-c_{2})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자.)
43
3. 따라서 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math(c_{2})]를 [math(c_{1})]과 [math(c)]중 작은 값으로 두자. 그러면
44
||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
45
의 식을 만족한다.
46
[math(c \leq c_{1})]이면 2번과 같은 방법으로 성립되며, [math(c > c_{1})]이면 1번에서
47
||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]||
48
이 되기 때문에 식이 성립한다.
49
* 그러므로
50
||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
51
을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.}}}
5252
5353
[math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
5454
||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여
......
6565
* 만일 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없으면 (특히 어떤 값으로 수렴함을 보이는 과정에서) 문제가 발생한다. 앞의
6666
||임의의 양수 [math(c)]에 대하여
6767
[math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
68
명제의 부정은
68
라는 명제의 부정은
6969
||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여
7070
[math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]||
7171
이 된다.
7272
여기에서 문제점이 생기게 된다. 왜냐면 앞에 말한 함수의 극한의 정의에서 다음
7373
> [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면
7474
> [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.
75
라는 명제에서 문제점이 발생하기 때문인데, [math(x=a)]를 제외한 나머지 [math(D)]의 [math(x)]의 지점 가운데 [math(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} )] 에 포함되는 지점에서는 '''함숫값이 존재하지 않기 때문에 명제가 거짓'''이 되는 오류가 발생하기 때문이다. (발산한다.)
75
라는 명제에서 문제점이 발생하기 때문인데, [math(x=a)]를 제외한 나머지 [math(D)]에의 [math(x)]의 지점 가운데 [math(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} )] 에 포함되는 지점에서는 '''함숫값이 존재하지 않기 때문에 명제가 거짓'''이 되는 오류가 발생하기 때문이다.
7676
7777
=== 수열의 극한 ===
7878
무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f(x))]가 자연수 [math(n)]에 대한 함수 [math({\color{green}a_{n}})]으로 바뀌었다고 생각해보자.)
......