| r40 vs r45 | ||
|---|---|---|
| 1 | 1 | [[분류:수학]] |
| 2 | [tableofcontents] | |
| 2 | 3 | == 개요 == |
| 3 | 4 | 수학에서 [math(x)]가 [math(a)]에 가까워질 때, [math(f(x))]가 한없이 [math(L)]에 가까워지면 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]이다. |
| 4 | 5 | 이때, [math(x)]는 [math(a)]가 무조건 맞지는 않는다. |
| ... | ... | |
| 7 | 8 | 무한 수열 [math(a_{n})] 에 대해 [math(n)]이 무한히 커지고 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )] 이라고 한다. |
| 8 | 9 | |
| 9 | 10 | == 엡실론‐델타법 == |
| 10 | 고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합 | |
| 11 | 고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다. | |
| 11 | 12 | * 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자. |
| 12 | 13 | * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.) |
| 13 | 14 | * (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.) |
| ... | ... | |
| 18 | 19 | |
| 19 | 20 | 들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다. |
| 20 | 21 | ||[math(f\left(x\right))]의 정의역에 대하여 [math(x=a)]가 __[math(D)]의 극한점(limit point)__[*보통위상 실수 전체 집합 [math(\mathbb{R})]에서의 "보통위상(Usual Topology)" 곧 "[math(\mathbb{R})]에서 열린 구간(이를테면 [math(\left\{x|a<x<b, \ a,b \in \mathbb{R}\right\})])들, 또는 이들의 임의의 합집합(무한 개의 합집합이여도 된다.), 또는 이들의 유한 개의 교집합__으로 구성된 [math(\mathbb{R})]의 부분집합을 원소__로 가지는 집합 [math(\mathcal{T})](이 집합은 당연히 [math(\mathcal{P}(\mathbb{R}))]의 부분집합이다.)을 갖춘 위상"에서는 집적점(accumunation point)을 극한점(limit point)으로 부른다. 고등학교 과정에서 배우는 극한은 특별한 언급이 없다면 모두 보통위상에서의 극한이다.]일 것.|| |
| 21 | * 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 [math(x)]의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역이 복잡하게 제한되는 경우가 있다. (이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.) | |
| 22 | 그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 [math(x)]의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다. | |
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| 23 | [math(x=a)]가 "[math(D)]의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 [math(a \in D)]일 필요는 없다.) | |
| 24 | ||임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 | |
| 26 | 25 | [math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
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| 28 | ||
| 29 | {{{ | |
| 30 | ||
| 26 | 임을 보여야한다. | |
| 27 | ||
| 28 | 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 [math(x)]의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역 [math(D)]가 복잡하게 제한되는 경우가 있다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다. | |
| 29 | 그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 [math(x)]의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다. | |
| 30 | ||
| 31 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이어도 충분하다. 왜냐면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 __곧 극한점이 되기 때문__이다. 자세한 이유는 [[#극한점 전제조건|아래 하위 문단의 내용]] 참조. | |
| 32 | ||
| 33 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다. | |
| 34 | ||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여 | |
| 35 | 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 error를 생각해보자.) | |
| 36 | 상수 [math(L \in \mathbb{R})]에 대하여 다음 명제 곧 | |
| 37 | > __[math(x \in D)]이고__ [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면[* 이는 [math(0 < \left\| x-a \right\| < \delta)]와 동치이며, 여기에서 꼭 [math(x=a)]__일 필요는 없음__이 나타닌다.] | |
| 38 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.[* 이는 [math({\color{gray}0\leq \ }\left\| f \left(x \right)-L \right\| < \epsilon)]와 동치이다. 회색으로 칠한 부등호([math(0\leq )]) 부분은 [math(f \left(x \right))]와 [math(L)]의 오차가 [math(0)]으로 나오는 경우([math(f \left(x \right)=L)]이 성립하는 경우. 잘 아는 예로는 함숫값이 [math(x)]의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.] | |
| 39 | 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 양수 [math(\delta)]를 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 difference를 생각해보자.) | |
| 40 | ||
| 41 | 함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 [math(L)]로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]으로 표기한다. | |
| 42 | ||
| 43 | 만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 '''발산한다'''고 말한다. || | |
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| 45 | ==== 참고사항1 ==== | |
| 46 | {{{+2 내점이면 극한점이 되는 이유}}} | |
| 47 | ||
| 48 | 먼저 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이려면 내점의 정의에 따라 다음을 만족해야 한다. | |
| 31 | 49 | ||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)] |
| 32 | 50 | 를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.|| |
| 33 | 51 | 1. 여기에서 |
| ... | ... | |
| 46 | 64 | [math(c \leq c_{1})]이면 2번과 같은 방법으로 성립되며, [math(c > c_{1})]이면 1번에서 |
| 47 | 65 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]|| |
| 48 | 66 | 이 되기 때문에 식이 성립한다. |
| 49 | ||
| 67 | ||
| 68 | 그러므로 | |
| 50 | 69 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
| 51 | 을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다. | |
| 70 | 을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다. | |
| 52 | 71 | |
| 53 | [math( | |
| 54 | ||
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| 56 | ||
| 57 | ||
| 58 | ||
| 59 | ||
| 72 | 참고로, __주의할 점이 있는데 [math(D)]의 극한점이라고 해서 [math(D)]의 내점이 되지는 않__는다. 만일 [math(D)]가 [math(\mathbb{R})]의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합이고 여기서 임의의[math(x=p)] 지점을 가져왔다고 하자. | |
| 73 | 임의의 양수 [math(c)]에 대하여 다음 집합인 | |
| 74 | ||[math(\left\{x|p-c<x<p+c\right\})]|| | |
| 75 | 를 보자. | |
| 76 | 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이 되어도 무수히 많은 유리수가 존재하면서도 이들은 모두 [math(D)]의 원소이다. 따라서 [math(D)]의 모든 지점은 [math(D)]의 극한점이 된다. | |
| 77 | 한편, 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이라도 __무수히 많은 무리수__가 존재하며, 따라서 위 집합은 [math(D)]의 부분집합이 될 수 없다. 따라서 [math(D)]의 모든 원소에 해당되는 지점은 [math(D)]의 내점이 아님을 알 수 있다. | |
| 78 | ------- | |
| 79 | {{{+2 수렴하는 극한의 유일성}}} | |
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| 61 | ||
| 81 | 극한이 [math(L)]로 수렴할 경우, 유일(unique)하다. (여기 보통위상[*보통위상]에서는. [[위상]]이 어떤 구성으로 되어있느냐에 따라 수렴하는 극한값이 유일하지 않을 수 있다.) | |
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| 83 | ------- | |
| 84 | [anchor(극한점 전제조건)]{{{+2 극한점임이 전제되어야 하는 이유}}} | |
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| 66 | ||
| 67 | ||
| 86 | 결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다. | |
| 87 | ||
| 88 | 만일 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없으면 (특히 어떤 값으로 수렴함을 보이는 과정에서) 문제가 발생한다. 앞에서 언급된 극한점의 조건에서 제시된 명제를 보자. | |
| 89 | ||임의의 양수 [math(c)]에 대하여 | |
| 68 | 90 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
| 69 | ||
| 70 | ||
| 91 | 이 명제의 부정은 | |
| 92 | ||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여 | |
| 71 | 93 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]|| |
| 72 | ||
| 73 | ||
| 74 | ||
| 75 | ||
| 94 | 이 된다. | |
| 95 | ||
| 96 | 여기에서 문제점이 생기게 된다. 왜냐면 앞에 말한 함수의 극한의 정의에서 다음 | |
| 97 | > [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면 | |
| 98 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. | |
| 76 | 99 | 라는 명제에서 문제점이 발생하기 때문인데, [math(x=a)]를 제외한 나머지 [math(D)]에의 [math(x)]의 지점 가운데 [math(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} )] 에 포함되는 지점에서는 '''함숫값이 존재하지 않기 때문에 명제가 거짓'''이 되는 오류가 발생하기 때문이다. 저런 경우는 [math(\delta >c)]인 경우이다. |
| 77 | 만일 저런 것을 고려할(?) 필요 없이 [math(\delta \leq c)]로 정해버리면([math(\delta)]를 충분히 작은 값으로 잡아버리면) [math(L)]의 값과 관계 없이 가정에서 [math(x \in D)] 조건과 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)] 이라는 조건이 서로 모순되고, 이는 곧 '''가정이 거짓이 되므로 전체적으로 명제가 참'''이 되버리는 오류가 발생하며, 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. | |
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| 101 | 만일 저런 것을 고려할(?) 필요 없이 [math(\delta \leq c)]로 정해버리면([math(\delta)]를 충분히 작은 값으로 잡아버리면) [math(L)]의 값과 관계 없이 가정에서 [math(x \in D)] 조건과 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)] 이라는 조건이 서로 모순되고, 이는 곧 '''가정이 거짓이 되므로 전체적으로 명제가 참'''이 되버리는 오류가 발생하며, 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. | |
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| 103 | 그러므로 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 있어야 한다. | |
| 104 | ||
| 81 | 105 | === 수열의 극한 === |
| 82 | 106 | 무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f(x))]가 자연수 [math(n)]에 대한 함수 [math({\color{green}a_{n}})]으로 바뀌었다고 생각해보자.) |
| 83 | 107 | ||무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]에 대하여 |
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