| r42 vs r44 | ||
|---|---|---|
| ... | ... | |
| 44 | 44 | |
| 45 | 45 | ==== 참고사항1 ==== |
| 46 | 46 | {{{+2 내점이면 극한점이 되는 이유}}} |
| 47 | ||
| 47 | 48 | 먼저 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이려면 내점의 정의에 따라 다음을 만족해야 한다. |
| 48 | 49 | ||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)] |
| 49 | 50 | 를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.|| |
| ... | ... | |
| 68 | 69 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
| 69 | 70 | 을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다. |
| 70 | 71 | |
| 72 | 참고로, __주의할 점이 있는데 [math(D)]의 극한점이라고 해서 [math(D)]의 내점이 되지는 않__는다. 만일 [math(D)]가 [math(\mathbb{R})]의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합이고 여기서 임의의[math(x=p)] 지점을 가져왔다고 하자. | |
| 73 | 임의의 양수 [math(c)]에 대하여 다음 집합인 | |
| 74 | ||[math(\left\{x|p-c<x<p+c\right\})]를 보자.|| | |
| 75 | 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이라도 무수히 많은 유리수가 존재하기 때문이며 이들은 모두 [math(D)]의 원소이다. 따라서 [math(D)]의 모든 지점은 [math(D)]의 극한점이 된다. | |
| 76 | 한편, 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이라도 __무수히 많은 무리수__가 있으며, 따라서 [math(D)]의 부분집합이 될 수 없다. 따라서 [math(D)]의 모든 원소에 해당되는 지점은 [math(D)]의 내점이 아님을 알 수 있다. | |
| 71 | 77 | ------- |
| 72 | 78 | {{{+2 수렴하는 극한의 유일성}}} |
| 79 | ||
| 73 | 80 | 극한이 [math(L)]로 수렴할 경우, 유일(unique)하다. (여기 보통위상[*보통위상]에서는. [[위상]]이 어떤 구성으로 되어있느냐에 따라 수렴하는 극한값이 유일하지 않을 수 있다.) |
| 74 | 81 | |
| 75 | 82 | ------- |
| 76 | [anchor(극한점 전제조건)] | |
| 77 | {{{+2 극한점임이 전제되어야 하는 이유}}} | |
| 83 | [anchor(극한점 전제조건)]{{{+2 극한점임이 전제되어야 하는 이유}}} | |
| 84 | ||
| 78 | 85 | 결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다. |
| 79 | 86 | |
| 80 | 87 | 만일 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없으면 (특히 어떤 값으로 수렴함을 보이는 과정에서) 문제가 발생한다. 앞에서 언급된 극한점의 조건에서 제시된 명제를 보자. |
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