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극한(비교)

r43 vs r45
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6969
||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
7070
을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.
7171
72
참고로, __주의할 점이 있는데 [math(D)]의 극한점이라고 해서 [math(D)]의 내점이 되지는 않__는다. 만일 [math(D)]가 유리수들만으로 구성된 경우이고 여기서 임의의[math(x=p)] 지점을 가져왔다고 하자. 이 경우 [math(x=p)] 지점은 [math(D)]의 내점이 될 수 없다.
73
왜냐면 임의의 양수 [math(c)]를 그 어떤 값으로 가지고 와도 다음 집합인
74
[math(\left\{x|p-c<x<p+c\right\})]에서는 무수히 많은 __무리수__가 있으며, 따라서 [math(D)]의 부분집합이 될 수 없기 때문이다. [math(D)]의 모든 원소는 [math(D)]의 내점이 아님을 알 수 있다.
72
참고로, __주의할 점이 있는데 [math(D)]의 극한점이라고 해서 [math(D)]의 내점이 되지는 않__는다. 만일 [math(D)]가 [math(\mathbb{R})]의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합이고 여기서 임의의[math(x=p)] 지점을 가져왔다고 하자.
73
임의의 양수 [math(c)]에 대하여 다음 집합인
74
||[math(\left\{x|p-c<x<p+c\right\})]||
75
를 보자.
76
위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이 되어도 무수히 많은 유리수가 존재하면서도 이들은 모두 [math(D)]의 원소이다. 따라서 [math(D)]의 모든 지점은 [math(D)]의 극한점이 된다.
77
한편, 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이라도 __무수히 많은 무리수__가 존재하며, 따라서 위 집합은 [math(D)]의 부분집합이 될 수 없다. 따라서 [math(D)]의 모든 원소에 해당되는 지점은 [math(D)]의 내점이 아님을 알 수 있다.
7578
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7679
{{{+2 수렴하는 극한의 유일성}}}
7780
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