극한(비교)

{{{+1 '''8.'''}}} '''6.'''에서 만일 [math({\color{blue}c} > c_{1})]이라고 하자.

그러면 '''1.'''에서

||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]

[math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]||

이 된다. 여기에서 다음이 성립한다.

||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]

[math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||

이 때 '''2.''', '''3.'''에서

||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||

가 성립한다.

공집합이 아닌 다음 집합인

||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||

을 포함하는 집합 곧

||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||

은 공집합이 아니므로 다음 식이 성립된다. (공집합이 아닌 집합을 포함하는 집합은 공집합이 아니다.)

||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||

{{{+1 '''9.'''}}} '''7.'''과 '''8.'''에 따라 다음이 성립된다.

||임의의 [math({\color{blue}c})]에 대하여

[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||

따라서 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.

{{{+1 '''0.'''}}} 가정하기를(Suppose that) 서로 다른 두 실수 [math(L_{1})]과 [math(L_{2})]에 대하여 [math(L_{1} < L_{2})]이면서

||[math(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{1}})]이고 [math(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{2}})]||

라고 하자. (곧 [math(x \to a)]의 극한값이 둘이라고 하자.)

{{{+1 '''1.'''}}} 그러면 함수의 정의에 따라 [math(L_{1})]과 [math(L_{2})]에 따른 임의의 두 양수 [math(\epsilon_{1})], [math(\epsilon_{2})]에 대하여 ([math(\epsilon_{1})], [math(\epsilon_{2})]이 그 어떤 값이라도) 적당한 양수 [math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]가 존재하여 다음을 만족한다. 다시 말해, 다음 두 명제는 참이 된다.

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1})]이면

>[math(L_{1}-\epsilon_{1}< f\left(x\right) < L_{1}+\epsilon_{1})]이다.

>-------

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2})]이면

>[math(L_{2}-\epsilon_{2}< f\left(x\right) < L_{2}+\epsilon_{2})]이다.

{{{+1 '''2.'''}}} 이 때 양수 [math(\epsilon)]을

||[math(\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}})]||

을 만족하는 적당한 값으로 두자.

{{{+1 '''3.'''}}} 이 때 '''2.'''에서 [math(\epsilon_{1}={\color{blue}\epsilon})], [math(\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon})]으로 두어도 '''1.'''에 따라 적당한 양수 [math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]가 존재하여 다음을 만족한다.

([math(\epsilon_{1}=\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon})]을 대입한 것이며, 두 명제는 참이 된다.)

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1})]이면

>[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]이다.

>-------

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2})]이면

>[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.

{{{+1 '''4.'''}}} '''3.'''에서 양수 [math(\delta)]를 [math(\delta_{1})]과 [math(\delta_{2})] 중 작은 값으로 결정하면 다음 역시 만족한다.([math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]을 [math({\color{red}\delta})]으로 바꾼 것이며 두 명제는 참이 된다.)

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면

>[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]이다.

>-------

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면

>[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.

{{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (충분조건이 동일하므로, 필요조건만을 합치면 된다.)

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면

>[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]__이면서__ [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.

{{{+1 '''6.'''}}} 이 때('''5.'''에서) 모순(contradiction)이 발생한다.

왜냐면 '''5.'''의 결론부분인

>[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]__이면서__ [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.

에서 다음 두 집합

[math(D_{1}=\left\{ y | L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}\right\})]

[math(D_{2}=\left\{ y | L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}\right\})]

을 정의하면

[math(D_{1})]와 [math(D_{2})]는 서로 소이기 때문이다.

* 더 자세히 말하자면, [math(D_{1})]의 모든 지점은 [math(L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]보다 작은 값의 지점이며 [math(D_{2})]의 모든 지점은 [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon})]보다 큰 값의 지점이다.

* '''2.'''에서 [math(\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}})]이므로 ([math(L_{2})]와 [math(L_{1})]의 차이의 절반보다 작은 값이다.)

[math(L_{1}+{\color{blue}\epsilon} < L_{2}-{\color{blue}\epsilon})]

이므로 [math(D_{1})]의 그 어느 점도 [math(D_{2})]의 원소가 될 수 없으면서 [math(D_{2})]의 그 어느 점도 [math(D_{1})]의 원소가 될 수 없다.

따라서 '''5.'''의 명제는 '''거짓이 되는 모순이 생긴다.'''

{{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 시작하여 어디서 거짓이 되었는가를 찾고자 거슬러 올라가고 거슬러 올라가기를 거듭함으로써, 처음 가정했던 '''0.'''이 거짓이 된다. 곧 수렴하는 극한값이 2개가 된다는 말은 거짓이며, 이는 __귀류법에 따라__ 수렴하는 극한의 유일성이 증명된다.

그러면 [math(L)]의 값과 관계 없이 '''3.'''에 제시된 명제의 가정에서 두 조건이 서로 모순된다.

|| 1. [math(x \in D)]

1. [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]||

이는 곧 '''가정이 거짓이 된'''다. 곧 가정이 거짓이므로 '''명제가 전체적으로 참'''이 되버리는 오류가 발생한다.

{{{+1 '''5.'''}}} 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다.