극한(비교)

 r49 vs r54
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 == 수열 ==
 무한 수열 [math(a_{n})] 에 대해 [math(n)]이 무한히 커지고 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )] 이라고 한다.
-== 엡실론‐델타법 ==
+== 엡실론을 이용한 극한의 정의 ==
 고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다.  기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다.  "근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다.
  * 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자.
  * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자.  (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.)
   * (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.)
   * (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.)
-=== 어떤 지점에서의 함수의 극한 ===
+=== 어떤 지점에서의 함수의 극한 (엡실론-델타법) ===
 [math(x \to a)]의 경우는 다음과 같이 된다.
 들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다.
 ...
 ==== 참고사항1 ====
 {{{+2 내점이면 극한점이 되는 이유}}}
-먼저 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이려면 내점의 정의에 따라 다음을 만족해야 한다.
+[math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이라고 하면  [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 됨을 보이자.
+{{{+1 '''1.'''}}} 내점의 정의에 따라 다음을 만족한다.
 ||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)]
 를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.||
-. 여기에서
+{{{+1 '''2.'''}}} '''1.'''에서 다음을 만족한다.
 ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]||
-이므로
+{{{+1 '''3.'''}}} '''2.'''의 집합의 원소로는 [math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균인 [math(\displaystyle{{{\left(a-c_{1}\right)+a}\over {2}}})]을 생각할 수 있으며.  사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많으면서 [math(D)]의 원소이다.
+따라서 다음을 만족한다.
 ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
-을 만족한다.  ([math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자.  사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많다.)
-. [math(c_{2} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math(c_{2})]에 대하여
-||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]||
-이므로
-||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
-을 만족한다.  ([math(a-c_{2})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자.)
-. 따라서 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math(c_{2})]를 [math(c_{1})]과 [math(c)]중 작은 값으로 두자.  그러면
-||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
-의 식을 만족한다.
-[math(c \leq c_{1})]이면 2번과 같은 방법으로 성립되며, [math(c > c_{1})]이면 1번에서
-||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]||
-이 되기 때문에 식이 성립한다.
-그러므로
+{{{+1 '''4.'''}}} '''3.'''에서 [math({\color{green}c_{2}} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math({\color{green}c_{2}} )]에 대하여
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]||
+이 되며, 다음 집합은 ([math(a-c_{2})]보다 크면서 [math(a)]보다 작은 실수는 무수히 많으면서도) [math(D)]의 부분집합이며 또한 공집합이 아니다.
+||[math(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\})]||
+따라서 다음을 만족한다.
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\}\right) \cap D \neq \emptyset)]||
+{{{+1 '''5.'''}}} 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math({\color{red}c_{3}})]를 [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]중 작은 값으로 두자.
+여기서 다음을 보이고자 한다.
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
+{{{+1 '''6.'''}}} '''5.'''에서 [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]의 대소는 [math({\color{blue}c} > c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} = c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} < c_{1})] 이다.
+{{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 만일 [math({\color{blue}c} \leq c_{1})]이라고 하자.
+그러면 [math({\color{red}c_{3}}={\color{blue}c}\leq c_{1})]이 된다.
+이 때  '''4.'''와 같은 방법으로 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}})] 으로 두면 다음의 식을 만족한다.
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}}<x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
+여기서 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}}={\color{blue}c})]이 되었으므로 다음이 성립한다.
 ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
-을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면  [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.
+{{{+1 '''8.'''}}} '''6.'''에서 만일 [math({\color{blue}c} > c_{1})]이라고 하자.
+그러면 '''1.'''에서
+||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]
+[math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]||
+이 된다.  여기에서 다음이 성립한다.
+||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]
+[math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||
+이 때 '''2.''', '''3.'''에서
+||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
+가 성립한다.
+공집합이 아닌 다음 집합인
+||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||
+을 포함하는 집합 곧
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||
+은 공집합이 아니므로 다음 식이 성립된다. (공집합이 아닌 집합을 포함하는 집합은 공집합이 아니다.)
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
+{{{+1 '''9.'''}}} '''7.'''과 '''8.'''에 따라 다음이 성립된다.
+||임의의 [math({\color{blue}c})]에 대하여
+[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
+따라서 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면  [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.
 참고로, __주의할 점이 있는데 [math(D)]의 극한점이라고 해서 [math(D)]의 내점이 되지는 않__는다.  만일 [math(D)]가 [math(\mathbb{R})]의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합(곧 유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})])이고 여기서 임의의[math(x=p)] 지점을 가져왔다고 하자.
 임의의 양수 [math(c)]에 대하여 다음 집합인
 ||[math(\left\{x|p-c<x<p+c\right\})]||
 ...
 >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면
 >[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.
-{{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (필요조건이 동일하므로, 충분조건만을 합치면 된다.)
+{{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (충분조건이 동일하므로, 필요조건만을 합치면 된다.)
 >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면
 >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]__이면서__ [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.
 ...
 따라서 '''5.'''의 명제는 '''거짓이 되는 모순이 생긴다.'''
-{{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 시작하여 어디서 거짓이 되었는가를 찾고자 거슬러 올라가고 거슬러 올라가기를 거듭함으로써, 처음 가정했던 '''0.'''이 거짓이 된다.  곧 수렴하는 극한값이 2개가 된다는 말은 거짓이며, 이는 __귀류법에 따라__ 수렴하는 극한값이 유일성이 증명된다.
+{{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 시작하여 어디서 거짓이 되었는가를 찾고자 거슬러 올라가고 거슬러 올라가기를 거듭함으로써, 처음 가정했던 '''0.'''이 거짓이 된다.  곧 수렴하는 극한값이 2개가 된다는 말은 거짓이며, 이는 __귀류법에 따라__ 수렴하는 극한의 유일성이 증명된다.
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 [anchor(극한점 전제조건)]{{{+2 극한점임이 전제되어야 하는 이유}}}
 결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다.
-만일 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없으면 (특히 어떤 값으로 수렴함을 보이는 과정에서) 문제가 발생한다.  앞에서 언급된 극한점의 조건에서 제시된 명제를 보자.
+{{{+1 '''0.'''}}} 가정하기를 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없다고 하자.
+{{{+1 '''1.'''}}} 그럼 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 __아닌 경우__가 존재한다.
+{{{+1 '''2.'''}}} 극한점의 조건을 보자.
+[math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점인 조건은 다음과 같다.
 ||임의의 양수 [math(c)]에 대하여
 [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D  \neq \emptyset)]||
 이 명제의 부정은
 ||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여
 [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]||
 이 된다.
-여기에서 문제점이 생기게 된다. 왜냐면 앞에 말한 함수의 극한의 정의에서 다음
+{{{+1 '''3.'''}}} 함수의 극한의 정의에서 다음 명제를 보자.
 > [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면
 > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.
- 라는 명제에서 문제점이 발생하기 때문인데, [math(x=a)]를 제외한 나머지 [math(D)]에의 [math(x)]의 지점 가운데 [math(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} )] 에 포함되는 지점에서는 '''함숫값이 존재하지 않기 때문에 명제가 거짓'''이 되는 오류가 발생하기 때문이다.  저런 경우는 [math(\delta >c)]인 경우이다.
-만일 저런 것을 고려할(?) 필요 없이 [math(\delta \leq c)]로 정해버리면([math(\delta)]를 충분히 작은 값으로 잡아버리면) [math(L)]의 값과 관계 없이 가정에서 [math(x \in D)] 조건과 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)] 이라는 조건이 서로 모순되고, 이는 곧 '''가정이 거짓이 되므로 전체적으로 명제가 참'''이 되버리는 오류가 발생하며, 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다.
+{{{+1 '''4.'''}}} '''1.'''의 경우(충분히 나올 수 있다) '''2.'''를 만족하는 [math(c)]를 가져와서 '''3.'''의 [math(\delta)]를 [math(\delta \leq c)]를 만족하는 적당한 값으로 두자.([math(\delta)]를 충분히 작은 값으로 잡자.)
+그러면 [math(L)]의 값과 관계 없이 '''3.'''에 제시된 명제의 가정에서 두 조건이 서로 모순된다.
+||1. [math(x \in D)]
+. [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]||
+따라서 '''가정이 거짓이 되며''',  가정이 거짓인 이유로 '''명제가 전체적으로 참'''이 되버리는 오류가 발생한다.
+{{{+1 '''5.'''}}} 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다.  이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다.
 그러므로  [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 있어야 한다.
 === 수열의 극한 ===
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