r50 vs r55 | ||
---|---|---|
... | ... | |
7 | 7 | == 수열 == |
8 | 8 | 무한 수열 [math(a_{n})] 에 대해 [math(n)]이 무한히 커지고 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )] 이라고 한다. |
9 | 9 | |
10 | == 엡실론 | |
11 | 고등학교 과정을 넘어가면 | |
10 | == 엡실론을 이용한 극한의 정의 == | |
11 | 고등학교 과정을 넘어가면 그리스 문자 [math(\epsilon)](엡실론), [math(\delta)](델타) 등을 읽으면서 극한의 정의를 엄밀하게 배운다. | |
12 | 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "[math(\epsilon)]-근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다. | |
12 | 13 | * 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자. |
13 | 14 | * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.) |
14 | 15 | * (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.) |
15 | 16 | * (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.) |
16 | 17 | |
17 | === 어떤 지점에서의 함수의 극한 === | |
18 | === 어떤 지점에서의 함수의 극한 (엡실론-델타법) === | |
18 | 19 | [math(x \to a)]의 경우는 다음과 같이 된다. |
19 | 20 | |
20 | 21 | 들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다. |
... | ... | |
45 | 46 | ==== 참고사항1 ==== |
46 | 47 | {{{+2 내점이면 극한점이 되는 이유}}} |
47 | 48 | |
48 | ||
49 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이라고 하면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 됨을 보이자. | |
50 | ||
51 | {{{+1 '''1.'''}}} 내점의 정의에 따라 다음을 만족한다. | |
49 | 52 | ||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)] |
50 | 53 | 를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.|| |
51 | 1. | |
54 | ||
55 | {{{+1 '''2.'''}}} '''1.'''에서 다음을 만족한다. | |
52 | 56 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]|| |
53 | 이 | |
57 | ||
58 | {{{+1 '''3.'''}}} '''2.'''의 집합의 원소로는 [math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균인 [math(\displaystyle{{{\left(a-c_{1}\right)+a}\over {2}}})]을 생각할 수 있으며. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많으면서 [math(D)]의 원소이다. | |
59 | 따라서 다음을 만족한다. | |
54 | 60 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
55 | 을 만족한다. ([math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많다.) | |
56 | 2. [math(c_{2} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math(c_{2})]에 대하여 | |
57 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]|| | |
58 | 이므로 | |
59 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
60 | 을 만족한다. ([math(a-c_{2})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자.) | |
61 | 3. 따라서 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math(c_{2})]를 [math(c_{1})]과 [math(c)]중 작은 값으로 두자. 그러면 | |
62 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
63 | 의 식을 만족한다. | |
64 | [math(c \leq c_{1})]이면 2번과 같은 방법으로 성립되며, [math(c > c_{1})]이면 1번에서 | |
65 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]|| | |
66 | 이 되기 때문에 식이 성립한다. | |
67 | 61 | |
68 | 그러므로 | |
62 | {{{+1 '''4.'''}}} '''3.'''에서 [math({\color{green}c_{2}} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math({\color{green}c_{2}} )]에 대하여 | |
63 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]|| | |
64 | 이 되며, 다음 집합은 ([math(a-c_{2})]보다 크면서 [math(a)]보다 작은 실수는 무수히 많으면서도) [math(D)]의 부분집합이며 또한 공집합이 아니다. | |
65 | ||[math(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\})]|| | |
66 | ||
67 | 따라서 다음을 만족한다. | |
68 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\}\right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
69 | ||
70 | {{{+1 '''5.'''}}} 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math({\color{red}c_{3}})]를 [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]중 작은 값으로 두자. | |
71 | 여기서 다음을 보이고자 한다. | |
72 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
73 | ||
74 | {{{+1 '''6.'''}}} '''5.'''에서 [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]의 대소는 [math({\color{blue}c} > c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} = c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} < c_{1})] 이다. | |
75 | ||
76 | {{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 만일 [math({\color{blue}c} \leq c_{1})]이라고 하자. | |
77 | 그러면 [math({\color{red}c_{3}}={\color{blue}c}\leq c_{1})]이 된다. | |
78 | 이 때 '''4.'''와 같은 방법으로 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}})] 으로 두면 다음의 식을 만족한다. | |
79 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}}<x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
80 | 여기서 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}}={\color{blue}c})]이 되었으므로 다음이 성립한다. | |
69 | 81 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
70 | 을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다. | |
71 | 82 | |
83 | {{{+1 '''8.'''}}} '''6.'''에서 만일 [math({\color{blue}c} > c_{1})]이라고 하자. | |
84 | 그러면 '''1.'''에서 | |
85 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))] | |
86 | [math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]|| | |
87 | 이 된다. 여기에서 다음이 성립한다. | |
88 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)] | |
89 | [math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]|| | |
90 | ||
91 | 이 때 '''2.''', '''3.'''에서 | |
92 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
93 | 가 성립한다. | |
94 | ||
95 | 공집합이 아닌 다음 집합인 | |
96 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]|| | |
97 | 을 포함하는 집합 곧 | |
98 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]|| | |
99 | 은 공집합이 아니므로 다음 식이 성립된다. (공집합이 아닌 집합을 포함하는 집합은 공집합이 아니다.) | |
100 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
101 | ||
102 | {{{+1 '''9.'''}}} '''7.'''과 '''8.'''에 따라 다음이 성립된다. | |
103 | ||임의의 [math({\color{blue}c})]에 대하여 | |
104 | [math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
105 | ||
106 | 따라서 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다. | |
107 | ||
72 | 108 | 참고로, __주의할 점이 있는데 [math(D)]의 극한점이라고 해서 [math(D)]의 내점이 되지는 않__는다. 만일 [math(D)]가 [math(\mathbb{R})]의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합(곧 유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})])이고 여기서 임의의[math(x=p)] 지점을 가져왔다고 하자. |
73 | 109 | 임의의 양수 [math(c)]에 대하여 다음 집합인 |
74 | 110 | ||[math(\left\{x|p-c<x<p+c\right\})]|| |
... | ... | |
112 | 148 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면 |
113 | 149 | >[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다. |
114 | 150 | |
115 | {{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. ( | |
151 | {{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (충분조건이 동일하므로, 필요조건만을 합치면 된다.) | |
116 | 152 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면 |
117 | 153 | >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]__이면서__ [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다. |
118 | 154 | |
... | ... | |
138 | 174 | |
139 | 175 | 결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다. |
140 | 176 | |
141 | ||
177 | {{{+1 '''0.'''}}} 가정하기를 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없다고 하자. | |
178 | ||
179 | {{{+1 '''1.'''}}} 그럼 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 __아닌 경우__가 존재한다. | |
180 | ||
181 | {{{+1 '''2.'''}}} 극한점의 조건을 보자. | |
182 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점인 조건은 다음과 같다. | |
142 | 183 | ||임의의 양수 [math(c)]에 대하여 |
143 | 184 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
185 | ||
144 | 186 | 이 명제의 부정은 |
145 | 187 | ||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여 |
146 | 188 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]|| |
147 | 189 | 이 된다. |
148 | 190 | |
149 | ||
191 | {{{+1 '''3.'''}}} 함수의 극한의 정의에서 다음 명제를 보자. | |
150 | 192 | > [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면 |
151 | 193 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. |
152 | 라는 명제에서 문제점이 발생하기 때문인데, [math(x=a)]를 제외한 나머지 [math(D)]에의 [math(x)]의 지점 가운데 [math(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} )] 에 포함되는 지점에서는 '''함숫값이 존재하지 않기 때문에 명제가 거짓'''이 되는 오류가 발생하기 때문이다. 저런 경우는 [math(\delta >c)]인 경우이다. | |
153 | 194 | |
154 | ||
195 | {{{+1 '''4.'''}}} '''1.'''의 경우(충분히 나올 수 있다) '''2.'''를 만족하는 [math(c)]를 가져와서 '''3.'''의 [math(\delta)]를 [math(\delta \leq c)]를 만족하는 적당한 값으로 두자.([math(\delta)]를 충분히 작은 값으로 잡자.) | |
155 | 196 | |
197 | 그러면 [math(L)]의 값과 관계 없이 '''3.'''에 제시된 명제의 가정에서 두 조건이 서로 모순된다. | |
198 | ||1. [math(x \in D)] | |
199 | 2. [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]|| | |
200 | 따라서 '''가정이 거짓이 되며''', 가정이 거짓인 이유로 '''명제가 전체적으로 참'''이 되버리는 오류가 발생한다. | |
201 | ||
202 | {{{+1 '''5.'''}}} 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다. | |
203 | ||
156 | 204 | 그러므로 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 있어야 한다. |
157 | 205 | |
158 | 206 | === 수열의 극한 === |
... | ... |