r51 vs r56 | ||
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... | ... | |
7 | 7 | == 수열 == |
8 | 8 | 무한 수열 [math(a_{n})] 에 대해 [math(n)]이 무한히 커지고 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )] 이라고 한다. |
9 | 9 | |
10 | == 엡실론 | |
11 | 고등학교 과정을 넘어가면 | |
10 | == 엡실론을 이용한 극한의 정의 == | |
11 | 고등학교 과정을 넘어가면 그리스 문자 [math(\epsilon)](엡실론), [math(\delta)](델타) 등을 읽으면서 극한의 정의를 엄밀하게 배운다. | |
12 | 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "[math(\epsilon)]-근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다. | |
12 | 13 | * 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자. |
13 | 14 | * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.) |
14 | 15 | * (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.) |
15 | 16 | * (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.) |
16 | 17 | |
17 | === 어떤 지점에서의 함수의 극한 === | |
18 | === 어떤 지점에서의 함수의 극한 (엡실론-델타법) === | |
18 | 19 | [math(x \to a)]의 경우는 다음과 같이 된다. |
19 | 20 | |
20 | 21 | 들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다. |
... | ... | |
32 | 33 | |
33 | 34 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다. |
34 | 35 | ||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여 |
35 | 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 error를 생각해보자.) | |
36 | 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 '''e'''rror를 생각해보자.) | |
36 | 37 | 상수 [math(L \in \mathbb{R})]에 대하여 다음 명제 곧 |
37 | 38 | > __[math(x \in D)]이고__ [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면[* 이는 [math(0 < \left\| x-a \right\| < \delta)]와 동치이며, 여기에서 꼭 [math(x=a)]__일 필요는 없음__이 나타닌다.] |
38 | 39 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.[* 이는 [math({\color{gray}0\leq \ }\left\| f \left(x \right)-L \right\| < \epsilon)]와 동치이다. 회색으로 칠한 부등호([math(0\leq )]) 부분은 [math(f \left(x \right))]와 [math(L)]의 오차가 [math(0)]으로 나오는 경우([math(f \left(x \right)=L)]이 성립하는 경우. 잘 아는 예로는 함숫값이 [math(x)]의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.] |
39 | 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 양수 [math(\delta)]를 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 difference를 생각해보자.) | |
40 | 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 양수 [math(\delta)]를 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 '''d'''ifference를 생각해보자.) | |
40 | 41 | |
41 | 42 | 함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 [math(L)]로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]으로 표기한다. |
42 | 43 | |
... | ... | |
70 | 71 | 여기서 다음을 보이고자 한다. |
71 | 72 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
72 | 73 | |
73 | {{{+1 '''6.'''}}} [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]의 대소는 [math({\color{blue}c} > c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} = c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} < c_{1})] 이다. | |
74 | {{{+1 '''6.'''}}} '''5.'''에서 [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]의 대소는 [math({\color{blue}c} > c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} = c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} < c_{1})] 이다. | |
74 | 75 | |
75 | {{{+1 '''7.'''}}} 만일 [math({\color{blue}c} \leq c_{1})]이라고 하자. | |
76 | {{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 만일 [math({\color{blue}c} \leq c_{1})]이라고 하자. | |
76 | 77 | 그러면 [math({\color{red}c_{3}}={\color{blue}c}\leq c_{1})]이 된다. |
77 | 78 | 이 때 '''4.'''와 같은 방법으로 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}})] 으로 두면 다음의 식을 만족한다. |
78 | 79 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}}<x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
79 | 80 | 여기서 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}}={\color{blue}c})]이 되었으므로 다음이 성립한다. |
80 | 81 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
81 | 82 | |
82 | {{{+1 '''8.'''}}} 만일 [math({\color{blue}c} > c_{1})]이라고 하자. | |
83 | {{{+1 '''8.'''}}} '''6.'''에서 만일 [math({\color{blue}c} > c_{1})]이라고 하자. | |
83 | 84 | 그러면 '''1.'''에서 |
84 | 85 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))] |
85 | 86 | [math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]|| |
... | ... | |
173 | 174 | |
174 | 175 | 결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다. |
175 | 176 | |
176 | ||
177 | {{{+1 '''0.'''}}} 가정하기를 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없다고 하자. | |
178 | ||
179 | {{{+1 '''1.'''}}} 그럼 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 __아닌 경우__가 존재한다. | |
180 | ||
181 | {{{+1 '''2.'''}}} 극한점의 조건을 보자. | |
182 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점인 조건은 다음과 같다. | |
177 | 183 | ||임의의 양수 [math(c)]에 대하여 |
178 | 184 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
185 | ||
179 | 186 | 이 명제의 부정은 |
180 | 187 | ||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여 |
181 | 188 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]|| |
182 | 189 | 이 된다. |
183 | 190 | |
184 | ||
191 | {{{+1 '''3.'''}}} 함수의 극한의 정의에서 다음 명제를 보자. | |
185 | 192 | > [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면 |
186 | 193 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. |
187 | 라는 명제에서 문제점이 발생하기 때문인데, [math(x=a)]를 제외한 나머지 [math(D)]에의 [math(x)]의 지점 가운데 [math(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} )] 에 포함되는 지점에서는 '''함숫값이 존재하지 않기 때문에 명제가 거짓'''이 되는 오류가 발생하기 때문이다. 저런 경우는 [math(\delta >c)]인 경우이다. | |
188 | 194 | |
189 | ||
195 | {{{+1 '''4.'''}}} '''1.'''의 경우(충분히 나올 수 있다) '''2.'''를 만족하는 [math(c)]를 가져와서 '''3.'''의 [math(\delta)]를 [math(\delta \leq c)]를 만족하는 적당한 값으로 두자.([math(\delta)]를 충분히 작은 값으로 잡자.) | |
190 | 196 | |
197 | 그러면 [math(L)]의 값과 관계 없이 '''3.'''에 제시된 명제의 가정에서 두 조건이 서로 모순된다. | |
198 | ||1. [math(x \in D)] | |
199 | 2. [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]|| | |
200 | 따라서 '''가정이 거짓이 되며''', 가정이 거짓인 이유로 '''명제가 전체적으로 참'''이 되버리는 오류가 발생한다. | |
201 | ||
202 | {{{+1 '''5.'''}}} 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다. | |
203 | ||
191 | 204 | 그러므로 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 있어야 한다. |
192 | 205 | |
193 | 206 | === 수열의 극한 === |
... | ... |