극한(비교)

== 수열 ==

무한 수열 [math(a_{n})] 에 대해 [math(n)]이 무한히 커지고 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )] 이라고 한다.

고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다.

* 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자.

* 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.)

* (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.)

* (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.)

[math(x \to a)]의 경우는 다음과 같이 된다.

들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다.

{{{+1 '''1.'''}}} 그럼 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 __아닌 경우__가 존재한다.

||임의의 양수 [math(c)]에 대하여

[math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||

이 명제의 부정은

||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여

[math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]||

이 된다.

> [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면

> [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.

그러면 [math(L)]의 값과 관계 없이 '''3.'''에 제시된 명제의 가정에서 두 조건이 서로 모순된다.

{{{+1 '''5.'''}}} 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다.

그러므로 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 있어야 한다.