극한(비교)

== 수열 ==

무한 수열 [math(a_{n})] 에 대해 [math(n)]이 무한히 커지고 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )] 이라고 한다.

* 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자.

* 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.)

* (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.)

* (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.)

[math(x \to a)]의 경우는 다음과 같이 된다.

들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다.

[math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.

||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여

상수 [math(L \in \mathbb{R})]에 대하여 다음 명제 곧

> __[math(x \in D)]이고__ [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면[* 이는 [math(0 < \left\| x-a \right\| < \delta)]와 동치이며, 여기에서 꼭 [math(x=a)]__일 필요는 없음__이 나타닌다.]

> [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.[* 이는 [math({\color{gray}0\leq \ }\left\| f \left(x \right)-L \right\| < \epsilon)]와 동치이다. 회색으로 칠한 부등호([math(0\leq )]) 부분은 [math(f \left(x \right))]와 [math(L)]의 오차가 [math(0)]으로 나오는 경우([math(f \left(x \right)=L)]이 성립하는 경우. 잘 아는 예로는 함숫값이 [math(x)]의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.]

함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 [math(L)]로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]으로 표기한다.

만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 '''발산한다'''고 말한다. ||

==== 참고사항1 ====

{{{+2 내점이면 극한점이 되는 이유}}}

{{{+1 '''1.'''}}} 그럼 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 __아닌 경우__가 존재한다.

||임의의 양수 [math(c)]에 대하여

[math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||

이 명제의 부정은

||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여

[math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]||

이 된다.

> [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면

> [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.

그러면 [math(L)]의 값과 관계 없이 '''3.'''에 제시된 명제의 가정에서 두 조건이 서로 모순된다.

{{{+1 '''5.'''}}} 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다.

그러므로 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 있어야 한다.