| r58 vs r62 | ||
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| 1 | 1 | [[분류:수학]] |
| 2 | 2 | [tableofcontents] |
| 3 | 3 | == 개요 == |
| 4 | {{{+3 Limit}}} | |
| 5 | ## 다음은 개인적으로 생각하는 극한의 정의입니다. - disciple153 | |
| 6 | 함수, 수열을 비롯한 어떤 연산자의 값의 변동이 일정 지점에서 어떤 값으로 제한되는지의 유무를 판단하고 제한값을 구하는 계산발법이다. | |
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| 8 | == 개략적인 극한의 정의 == | |
| 9 | 원래는 후술할 "엡실론을 이용한 극한의 정의"를 소개하는 것이 맞으나, 정의에 쓰이는 기호가 복잡하게 보이는 까닭에 고등학교 교과 과정에서는 (극한을 처음 배우는 입장이기도 하니) 극한을 원 정의에서 유추되는 설명으로 개략적으로 소개하고 있다. | |
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| 11 | === 함수의 극한 === | |
| 4 | 12 | 수학에서 [math(x)]가 [math(a)]에 가까워질 때, [math(f(x))]가 한없이 [math(L)]에 가까워지면 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]이다. |
| 5 | 13 | 이때, [math(x)]는 [math(a)]가 무조건 맞지는 않는다. |
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| 7 | == 수열 == | |
| 15 | === 수열의 극한 === | |
| 8 | 16 | 무한 수열 [math(a_{n})] 에 대해 [math(n)]이 무한히 커지고 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )] 이라고 한다. |
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| 10 | 18 | == 엡실론을 이용한 극한의 정의 == |
| 11 | 19 | 고등학교 과정을 넘어가면 그리스 문자 [math(\epsilon)](엡실론), [math(\delta)](델타) 등을 읽으면서 극한의 정의를 엄밀하게 배운다. |
| 20 | 내점(Interior point), 극한점(Limit point) 등의 용어가 나오는데, 이들을 먼저 이해해야 엡실론을 이용한 극한의 정의를 이해할 수 있음을 밝힌다. 다만, 건너뛰고 읽을 위키러들이 있을 수 있으니 문서 중간중간에 정의를 설명해놓았다. 실수체계에 대한 자세한 내용은 [[실수체계|이 문서]]를 참조할 수 있다. 위상에 대한 내용은 [[위상수학|이 문서]] 참조. | |
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| 12 | 22 | 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "[math(\epsilon)]-근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다. |
| 13 | 23 | * 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자. |
| 14 | 24 | * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.) |
| ... | ... | |
| 42 | 52 | 함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 [math(L)]로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]으로 표기한다. |
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| 44 | 54 | 만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 '''발산한다'''고 말한다. || |
| 55 | 이해를 돕기 위해 "수렴한다", "발산한다"라는 표현을 하였으며, 원래는 이보다 "함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 {{{#blue 극한을 가진}}}다.(A function [math(f\left(x\right))] {{{#blue has a limit}}} at [math(x=a)])" 라는 말로 더 많이 표현한다. | |
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| 46 | 57 | 기호들을 사용하면 다음과 같다. |
| 47 | 58 | ||[math(f:D\left(\subset\mathbb{R}\right) \to \mathbb{R},\ \ a \in D^{\prime})] (여기서 [math(D^{\prime})]는 [math(D)]의 모든 극한점들을 모아놓는 집합이다.) |
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