r63 vs r67 | ||
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... | ... | |
3 | 3 | == 개요 == |
4 | 4 | {{{+3 Limit}}} |
5 | 5 | ## 다음은 개인적으로 생각하는 극한의 정의입니다. - disciple153 |
6 | 함수, 수열을 비롯한 어떤 연산자의 값의 변동이 일정 지점 부근(일정 구간 내)에서 어떤 값으로 제한되는지의 유무를 판단하여 그 존재 내지 값을 구하는 계산법이다. | |
6 | 함수, 수열을 비롯한 어떤 연산자의 값의 변동이 일정 지점 부근(일정 구간 내)에서 어떤 값으로 제한되는지의 유무를 판단하여 그 존재 내지 값을 구하는 계산법이다. --포위망을 점점 좁힐 터이니 연산자 값은 길고 날뛰어봤자 이런 값에서 제한되어 못 벗어난다.-- | |
7 | 7 | |
8 | 8 | == 개략적인 극한의 정의 == |
9 | 9 | 원래는 후술할 "엡실론을 이용한 극한의 정의"를 소개하는 것이 맞으나, 정의에 쓰이는 기호가 복잡하게 보이는 까닭에 고등학교 교과 과정에서는 (극한을 처음 배우는 입장이기도 하니) 극한을 원 정의에서 유추되는 설명으로 개략적으로 소개하고 있다. |
... | ... | |
20 | 20 | 내점(Interior point), 극한점(Limit point) 등의 용어가 나오는데, 이들을 먼저 이해해야 엡실론을 이용한 극한의 정의를 이해할 수 있음을 밝힌다. 다만, 건너뛰고 읽을 위키러들이 있을 수 있으니 문서 중간중간에 정의를 설명해놓았다. 실수체계에 대한 자세한 내용은 [[실수체계|이 문서]]를 참조할 수 있다. 위상에 대한 내용은 [[위상수학|이 문서]] 참조. |
21 | 21 | |
22 | 22 | 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "[math(\epsilon)]-근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다. |
23 | 여기에서는 변수가 1개인 함수를 본다. | |
23 | 24 | * 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자. |
24 | * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.) | |
25 | * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수인 변수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.) | |
25 | 26 | * (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.) |
26 | 27 | * (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.) |
27 | 28 | |
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39 | 40 | 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 [math(x)]의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역 [math(D)]가 복잡하게 제한되는 경우가 있다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다. |
40 | 41 | 그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 [math(x)]의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다. |
41 | 42 | |
42 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이 | |
43 | 만일 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이라면 그것으로도 충분하다. 왜냐면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 __곧 극한점이 되기 때문__이다. 자세한 이유는 [[#극한점 전제조건|아래 하위 문단의 내용]] 참조. | |
43 | 44 | |
44 | 45 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다. |
45 | 46 | ||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여 |
... | ... | |
55 | 56 | 이해를 돕기 위해 "수렴한다", "발산한다"라는 표현을 하였으며, 원래는 이보다 "함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 {{{#blue 극한을 가진}}}다.(A function [math(f\left(x\right))] {{{#blue has a limit}}} at [math(x=a)])" 라는 말로 더 많이 표현한다. |
56 | 57 | |
57 | 58 | 기호들을 사용하면 다음과 같다. |
58 | ||[math(f:D\left(\subset\mathbb{R}\right) \to \mathbb{R},\ \ a \in D^{\prime})] | |
59 | ||[math(f:D\left(\subset\mathbb{R}\right) \to \mathbb{R},\ \ a \in D^{\prime})] | |
59 | 60 | [math(\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L}\\ |
60 | 61 | \Longleftrightarrow \exist L \in \mathbb{R}\ \text{such as}\ \forall \epsilon >0,\ \exist \delta > 0 \ \text{such as} \\ |
61 | 62 | x \in D,\ 0< \left\|x-a\right\| < \delta \Longrightarrow \left\| f(x)-L\right\| < \epsilon)]|| |
63 | 여기서 [math(D^{\prime})]는 [math(D)]의 모든 극한점들을 모아놓는 집합이다. | |
62 | 64 | ==== 참고사항1 ==== |
63 | 65 | {{{+2 내점이면 극한점이 되는 이유}}} |
64 | 66 | |
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