| r66 vs r68 | ||
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| ... | ... | |
| 20 | 20 | 내점(Interior point), 극한점(Limit point) 등의 용어가 나오는데, 이들을 먼저 이해해야 엡실론을 이용한 극한의 정의를 이해할 수 있음을 밝힌다. 다만, 건너뛰고 읽을 위키러들이 있을 수 있으니 문서 중간중간에 정의를 설명해놓았다. 실수체계에 대한 자세한 내용은 [[실수체계|이 문서]]를 참조할 수 있다. 위상에 대한 내용은 [[위상수학|이 문서]] 참조. |
| 21 | 21 | |
| 22 | 22 | 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "[math(\epsilon)]-근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다. |
| 23 | 여기에서는 변수가 1개인 함수를 본다. | |
| 23 | 24 | * 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자. |
| 24 | * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.) | |
| 25 | * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수인 변수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.) | |
| 25 | 26 | * (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.) |
| 26 | 27 | * (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.) |
| 27 | 28 | |
| ... | ... | |
| 62 | 63 | 여기서 [math(D^{\prime})]는 [math(D)]의 모든 극한점들을 모아놓는 집합이다. |
| 63 | 64 | ==== 참고사항1 ==== |
| 64 | 65 | {{{+2 내점이면 극한점이 되는 이유}}} |
| 65 | ||
| 66 | {{{#!folding 펼치기, 접기 | |
| 66 | 67 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이라고 하면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 됨을 보이자. |
| 67 | 68 | |
| 68 | 69 | {{{+1 '''1.'''}}} 내점의 정의에 따라 다음을 만족한다. |
| ... | ... | |
| 128 | 129 | 를 보자. |
| 129 | 130 | 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이 되어도 무수히 많은 유리수가 존재하면서도 이들은 모두 [math(D)]의 원소이다. 따라서 [math(D)]의 원소에 해당되는 모든 [math(x)]의 지점은 [math(D)]의 극한점이 된다. |
| 130 | 131 | 한편, 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이라도 __무수히 많은 무리수__가 존재하며, 따라서 위 집합은 [math(D)]의 부분집합이 될 수 없다. 따라서 [math(D)]의 원소에 해당되는 모든 [math(x)]의 지점은 [math(D)]의 내점이 아님을 알 수 있다. |
| 131 | (여담으로 [math(\mathbb{Q})]의 극한점들을 모아놓은 집합은 [math(\mathbb{R})]이 된다.) | |
| 132 | (여담으로 [math(\mathbb{Q})]의 극한점들을 모아놓은 집합은 [math(\mathbb{R})]이 된다.)}}} | |
| 132 | 133 | |
| 133 | 134 | ------- |
| 134 | 135 | {{{+2 수렴하는 극한의 유일성}}} |
| 135 | ||
| 136 | {{{#!folding 펼치기, 접기 | |
| 136 | 137 | 극한이 [math(L)]로 수렴할 경우, 유일(unique)하다. (여기 보통위상[*보통위상]에서는. [[위상]]이 어떤 구성으로 되어있느냐에 따라 수렴하는 극한값이 유일하지 않을 수 있다.) |
| 137 | 138 | |
| 138 | 139 | {{{+1 '''0.'''}}} 가정하기를(Suppose that) 서로 다른 두 실수 [math(L_{1})]과 [math(L_{2})]에 대하여 [math(L_{1} < L_{2})]이면서 |
| ... | ... | |
| 184 | 185 | |
| 185 | 186 | 따라서 '''5.'''의 명제는 '''거짓이 되는 모순이 생긴다.''' |
| 186 | 187 | |
| 187 | {{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 시작하여 어디서 거짓이 되었는가를 찾고자 거슬러 올라가고 거슬러 올라가기를 거듭함으로써, 처음 가정했던 '''0.'''이 거짓이 된다. 곧 수렴하는 극한값이 2개가 된다는 말은 거짓이며, 이는 __귀류법에 따라__ 수렴하는 극한의 유일성이 증명된다. | |
| 188 | {{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 시작하여 어디서 거짓이 되었는가를 찾고자 거슬러 올라가고 거슬러 올라가기를 거듭함으로써, 처음 가정했던 '''0.'''이 거짓이 된다. 곧 수렴하는 극한값이 2개가 된다는 말은 거짓이며, 이는 __귀류법에 따라__ 수렴하는 극한의 유일성이 증명된다.}}} | |
| 188 | 189 | |
| 189 | 190 | ------- |
| 190 | [anchor(극한점 전제조건)]{{{+2 극한점임이 전제되어야 하는 이유}}} | |
| 191 | [anchor(극한점 전제조건)]{{{+2 적어도 극한점임이 전제되어야 하는 이유}}} | |
| 191 | 192 | |
| 192 | 193 | 결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다. |
| 193 | ||
| 194 | {{{#!folding 펼치기, 접기 | |
| 194 | 195 | {{{+1 '''0.'''}}} 가정하기를 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없다고 하자. |
| 195 | 196 | |
| 196 | 197 | {{{+1 '''1.'''}}} 그럼 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 __아닌 경우__가 존재한다. |
| ... | ... | |
| 218 | 219 | |
| 219 | 220 | {{{+1 '''5.'''}}} 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다. |
| 220 | 221 | |
| 221 | 그러므로 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 있어야 한다. | |
| 222 | 그러므로 적어도 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 있어야 한다.}}} | |
| 222 | 223 | |
| 223 | 224 | === 수열의 극한 === |
| 224 | 225 | 무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f(x))]가 자연수 [math(n)]에 대한 함수 [math({\color{green}a_{n}})]으로 바뀌었다고 생각해보자.) |
| ... | ... |