r73 vs r78 | ||
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231 | 231 | |
232 | 232 | 이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, 샌드위치 정리의 성립, [math(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{{1}\over {n}}=0)]의 성립을 증명할 수 있다. (무한 수열에서 [math({{1}\over {n}})], [math({{1}\over {n^2}})], [math({{1}\over {n^3}})] 등으로 바꿀 수 있는 부분은 [math(0)]으로 --안심하고--날릴 수 있다. 다만 0으로 나누는 식이 되지 않도록 주의하자.) |
233 | 233 | |
234 | == 위상공간에서 극한의 정의 == | |
235 | 위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점을 정의하게 된다. 앞의 엡실론-델타법 | |
234 | == 다른 공간에서 극한의 정의 == | |
235 | === 위상공간에서 극한의 정의 === | |
236 | 위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점을 정의하게 된다. 앞의 [[#엡실론-델타법 정의|엡실론-델타법]]에서 다루는 부등호 식은 바꿔보면 일종의 열린집합과 원소의 포함관계로 표시된다. ([math(A)] 초과 [math(B)] 미만을 [math(\left( A,\ B\right))]과 같이 열린구간을 표시한다.) | |
236 | 237 | |
238 | || 부등식 || 집합식 || | |
239 | ||[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이다. ||[math(x \in D)]이고 [math(x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]이다. || | |
240 | ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다.|| | |
241 | ||
242 | 여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 보통위상에서 어떤 한 지점 [math(p)]을 포함하는 열린집합[math(O)]을 아무 거나 가져와도 그 지점 [math(p)]는 그 열린집합 [math(O)]의 내점(interior point)이므로 적당한 양수 [math(d)]를 가져오면 [math(p \in \left(p-d,\ p+d \right) \subset O)]가 되기 때문이다. | |
243 | ||
244 | 가지는 극한은 위상에 따라 다를 수 있으며 또 유일하지 않을 수 있다. ([math(\mathbb{R})]의 유한여집합위상 등) | |
245 | ||
246 | === 변수가 2개 이상인 경우 === | |
247 | 변수가 2개 이상이 되면 각 변수들은 독립적이므로 서로 수직인 축들이 2개 이상으로 되어 있는 [math(\mathbb{R}^{2})], [math(\mathbb{R}^{3})] 평면, (3차원) 공간 등 [math(n)]차원 (유클리드)공간에서 점의 좌표와 점과 점 사이의 거리를 이용한 (위상으로) 극한을 정의한다. | |
248 | ||
237 | 249 | == 여담 == |
238 | 250 | 극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 [math(a_{n}=)][math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(\ldots)]에 대하여 "[math(0)]과 [math(1)]이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 [math({{1}\over{2}})]가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다. 엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만. |
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