극한(비교)

== 다른 공간에서 극한의 정의 ==

=== 위상공간에서 극한의 정의 ===

위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점(극한점)을 정의하게 된다. 앞의 [[#엡실론-델타법 정의|엡실론-델타법]]에서 다루는 부등호 식은 바꿔보면 일종의 열린집합과 원소의 포함관계로 표시된다. ([math(A)] 초과 [math(B)] 미만의 모든 점의 집합을 [math(\left( A,\ B\right))]과 같이 열린구간을 표시한다.)

|| 번호 || 부등식 || 집합식 ||

|| 1 ||[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이다. ||[math(x \in D)]이고 [math(x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]이다. ||

|| 2 ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다.||

여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 곧 위상수학에서 다루는 열린집합들로만 함수의 극한의 정의를 표현할 수 있다.

보통위상에서 어떤 한 지점 [math(a)]을 포함하는 열린집합 [math(O)]를 아무 거나 가져와도 그 지점 [math(a)]는 그 열린집합 [math(O)]의 내점(interior point)이니 적당한 양수 [math(\delta)]를 가져오면 [math(a \in \left(a-\delta,\ a+\delta \right) \subset O)]가 된다.

앞에서 [math(x=a)]가 [math(D)]의 집적점(극한점)이라는 조건이 있으니 [math(x=a)]를 포함하는 열린집합 [math(O)]를 아무거나 가져와도 집적점의 정의에 따라 다음을 만족한다.

||[math(\left( O \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)] ||

||[math(x \in D)]이고 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(a \in O_{\delta})]이고 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이다. ||

{{{#gray ([math(O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\} \neq \emptyset)] 가 된다. 물론 [math(a \in \left(a-\delta,\ a+\delta \right))] 자체가 [math(O_{\delta})]로 될 수 있다. 위 식을 [math(O_{\delta})]로 표기하지 않고 [math(O)]로 표기할 수 있겠으나, 델타를 다루는 부분에서 변형되었음을 이해할 수 있도록 편의상 [math(O)] 아래 [math(\delta)]를 붙여둔다.)}}}

여기까지만 보면 "[math(\epsilon)]값이 어떠하더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있는, [math(a \in O_{\delta})]인 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재할 때 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다"고 바꿀 수 있다.

델타를 다루는 부분이 열린집합을 다루는 부분으로 바뀌었는데, 이 열린집합이 존재함을 보이는 것만으로도 앞의 방법처럼 [math(a \in \left(a-\delta,\ a+\delta \right) \subset O_{\delta})]를 만족하는 적당한 [math(\delta)]는 존재하고 곧 엡실론-델타법에서 말하는 [math(\delta)] 열린구간을 찾는 것이 되므로 극한을 가진다고 말할 수 있다.

2번 식을 보자. {{{#gray ([math(f\left(x\right))]의 범위를 다루는 부분인데, 변수 하나의 함수를 [math(y=f\left(x\right))] 식으로 다루는 경우가 많기 때문에 여기에서 집합의 지점이나 범위를 언급할 때 편의상 [math(y)]를 들어서 설명한다.)}}} [math(y=L)] 지점을 포함하는 아무 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 가져온다고 하자.

이 때 [math(O_{\epsilon}\cap\left(L-\epsilon,\ L+\epsilon\right))]은 [math(\left(L-\epsilon,\ L+\epsilon\right))]의 부분집합이 된다. {{{#gray (델타를 언급하는 부분과 같이 여기에서는 엡실론을 언급하므로 [math(O)]에 [math(\epsilon)]을 첨자로 달아놓았다.)}}}