r92 vs r96 | ||
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... | ... | |
243 | 243 | 여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 곧 위상수학에서 다루는 열린집합들로만 함수의 극한의 정의를 표현할 수 있다. |
244 | 244 | ---- |
245 | 245 | * 엡실론-델타법에서 [math(\delta)] 집합 부분 내용의 변화 |
246 | ||
247 | ||
248 | ||
249 | ||
246 | 위의 집합식에서, 각 [math(\epsilon)]마다 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있도록 어떤 양수 [math(\delta)]가 존재하여 어떤 한 지점 [math(a)]을 포함하는 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]을 두고 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]으로 [math(x)]의 범위를 잡을 수 있다고 가정해보자. 그러면 해당 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]은 열린집합이므로, 다음 두 비교가 나온다. | |
247 | || 번호 || 식 || | |
248 | || 1.1. ||양수 [math(\delta)]가 존재하여 [math(x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})] 이다. || | |
249 | || 1.2. ||열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(a \in O_{\delta})]이고 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이다. || | |
250 | 250 | |
251 | 이 | |
252 | ||
253 | ||
251 | 앞에서 1.1이면 1.2이라는 설명이 있으므로, 1.2이면 1.1이다는 설명을 해보자. [math(a)]를 포함하는 [math(O_{\delta})]를 아무 거나 가져온다고 하자면, 그 지점 [math(a)]는 그 열린집합 [math(O_{\delta})]의 내점(interior point)이니 적당한 양수 [math(\delta_{1})]를 가져오면 [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta})]가 된다. {{{#gray 이 열린집합이 존재함을 보이는 것만으로도 [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta})]를 만족하는 적당한 [math(\delta_{1})]는 존재하고 곧 엡실론-델타법에서 말하는 [math(\delta)] 열린구간을 찾는 것이 되므로 극한을 가진다고 말할 수 있다.}}} | |
254 | 252 | |
255 | ||
256 | 델타를 다루는 | |
253 | 이로서 1.1과 1.2는 동치이며, "[math(\epsilon)]값이 어떠하더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있는, [math(a \in O_{\delta})]인 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재할 때 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다"고 바꿀 수 있다. {{{#gray 곧 델타를 다루는 설명을 열린집합을 다루는 설명으로 바꾸는 것이다.}}} | |
257 | 254 | |
258 | 255 | ---- |
259 | 256 | * [math(\epsilon)] 집합 부분의 변화 |
260 | 2번 식을 보자. {{{#gray ([math(f\left(x\right))]의 범위를 다루는 부분인데, 변수 하나의 함수를 [math(y=f\left(x\right))] 식으로 다루는 경우가 많기 때문에 여기에서 집합의 지점이나 범위를 언급할 때 편의상 [math(y)]를 들어서 설명한다.)}}} [math(y=L)] 지점을 포함하는 아무 열린집합 [math(O_{\epsilon})] | |
261 | ||
257 | 2번 식을 보자. {{{#gray ([math(f\left(x\right))]의 범위를 다루는 부분인데, 변수 하나의 함수를 [math(y=f\left(x\right))] 식으로 다루는 경우가 많기 때문에 여기에서 집합의 지점이나 범위를 언급할 때 편의상 [math(y)]를 들어서 설명한다.)}}} [math(y=L)] 지점을 포함하는 아무 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 가져온다고 하자. {{{#gray (델타를 언급하는 부분과 같이 여기에서는 엡실론을 언급하므로 [math(O)]에 [math(\epsilon)]을 첨자로 달아놓았다.)}}} | |
262 | 258 | |
263 | 이 때 [math(y | |
259 | 이 때 [math(y=L)]는 [math(O_{\epsilon})]의 내점이 되는데, 적당한 양수 [math(\epsilon_{1})]을 가져오면 다음을 만족한다. | |
260 | ||[math(L \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon})] || | |
261 | {{{#gray 물론 적당한 양수 [math(\epsilon_{1})]에 대하여 [math(O_{\epsilon})]가 [math(\left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1} \right))] 자체일 수 있다. }}} | |
264 | 262 | |
263 | 함수 [math(f\left(x\right))]가 [math(x=a)]에서 극한을 가진다고 하면 [math(x=a)]지점을 포함하는 적당한 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 다음을 만족한다. | |
264 | ||[math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon_{1} ,\ L+\epsilon_{1} \right))]이다. || | |
265 | ||
266 | 곧, [math(x=a)]에서 극한을 가진다면 앞의 | |
267 | ||[math(L \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon})] || | |
268 | 에 따라 다음을 만족한다. | |
269 | ||[math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]이다. || | |
270 | ||
271 | 이것으로 어떤 [math(O_{\epsilon})]을 가져와도 항상 [math(O_{\delta})]를 찾을 수 있다면, [math(f\left(x\right))]가 [math(x=a)]에서 극한을 가짐을 보이기에는 충분하다. | |
272 | ||
265 | 273 | 가지는 극한은 위상에 따라 다를 수 있으며 또 유일하지 않을 수 있다. ([math(\mathbb{R})]의 유한여집합위상 등) |
266 | 274 | |
267 | 275 | === 변수가 2개 이상인 경우 === |
... | ... |