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극한(비교)

r93 vs r96
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243243
여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 곧 위상수학에서 다루는 열린집합들로만 함수의 극한의 정의를 표현할 수 있다.
244244
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245245
* 엡실론-델타법에서 [math(\delta)] 집합 부분 내용의 변화
246
보통위상에서 어떤 한 지점 [math(a)]을 포함하는 열린집합 [math(O)]를 아무 거나 가져와도 그 지점 [math(a)]는 그 열린집합 [math(O)]의 내점(interior point)이니 적당한 양수 [math(\delta)]를 가져오면 [math(a \in \left(a-\delta,\ a+\delta \right) \subset O)]가 된다.
247
앞에서 [math(x=a)]가 [math(D)]의 집적점(극한점)이라는 조건이 있으니 [math(x=a)]를 포함하는 열린집합 [math(O)]를 아무거나 가져와도 집적점의 정의에 따라 다음을 만족한다.
248
||[math(\left( O \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)] ||
249
따라서 {{{#gray [math(D)]와의 교집합이 공집합으로 되지 않는 집합이므로 [math(O \backslash \left\{ a \right\})]는 공집합이 아니다. 곧}}} [math(O \backslash \left\{ a \right\} \neq \emptyset)]이다.
246
위의 집합식에서, 각 [math(\epsilon)]마다 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있도록 어떤 양수 [math(\delta)]가 존재하여 어떤 한 지점 [math(a)]을 포함하는 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]을 두고 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]으로 [math(x)]의 범위를 잡을 수 있다고 가정해보자. 그러면 해당 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]은 열린집합이므로, 다음 두 비교가 나온다.
247
|| 번호 || 식 ||
248
|| 1.1. ||양수 [math(\delta)]가 존재하여 [math(x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})] 이다. ||
249
|| 1.2. ||열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(a \in O_{\delta})]이고 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이다. ||
250250
251
이를 이용하여 상기 표의 1번 식의 집합식을 다음과 같이 표현할 수 있다.
252
||열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(a \in O_{\delta})]이고 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이다. ||
253
{{{#gray ([math(O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\} \neq \emptyset)] 가 된다. 물론 [math(a \in \left(a-\delta,\ a+\delta \right))] 자체가 [math(O_{\delta})]로 될 수 있다. 위 식을 [math(O_{\delta})]로 표기하지 않고 [math(O)]로 표기할 수 있겠으나, 델타를 다루는 부분에서 변형되었음을 이해할 수 있도록 편의상 [math(O)] 아래 [math(\delta)]를 붙여둔다.)}}}
251
앞에서 1.1이면 1.2이라는 설명이 있으므로, 1.2이면 1.1이다는 설명을 해보자. [math(a)]를 포함하는 [math(O_{\delta})]를 아무 거나 가져온다고 하자면, 그 지점 [math(a)]는 그 열린집합 [math(O_{\delta})]의 내점(interior point)이니 적당한 양수 [math(\delta_{1})]를 가져오면 [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta})]가 된다. {{{#gray 이 열린집합이 존재함을 보이는 것만으로도 [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta})]를 만족하는 적당한 [math(\delta_{1})]는 존재하고 곧 엡실론-델타법에서 말하는 [math(\delta)] 열린구간을 찾는 것이 되므로 극한을 가진다고 말할 수 있다.}}}
254252
255
여기까지만 보면 "[math(\epsilon)]값이 어떠하더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있는, [math(a \in O_{\delta})]인 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재할 때 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다"고 바꿀 수 있다.
256
델타를 다루는 부분이 열린집합을 다루는 부분으로 바뀌었는데, 이 열린집합이 존재함을 보이는 것만으로도 앞의 방법처럼 [math(a \in \left(a-\delta,\ a+\delta \right) \subset O_{\delta})]를 만족하는 적당한 [math(\delta)]는 존재하고 곧 엡실론-델타법에서 말하는 [math(\delta)] 열린구간을 찾는 것이 되므로 극한을 가진다고 말할 수 있다.
253
이로서 1.1과 1.2는 동치이며, "[math(\epsilon)]값이 어떠하더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있는, [math(a \in O_{\delta})]인 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재할 때 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다"고 바꿀 수 있다. {{{#gray 곧 델타를 다루는 설명을 열린집합을 다루는 설명으로 바꾸는 것이다.}}}
257254
258255
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259256
* [math(\epsilon)] 집합 부분의 변화
......
261258
262259
이 때 [math(y=L)]는 [math(O_{\epsilon})]의 내점이 되는데, 적당한 양수 [math(\epsilon_{1})]을 가져오면 다음을 만족한다.
263260
||[math(L \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon})] ||
261
{{{#gray 물론 적당한 양수 [math(\epsilon_{1})]에 대하여 [math(O_{\epsilon})]가 [math(\left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1} \right))] 자체일 수 있다. }}}
264262
265
함수 [math(f\left(x\right))]가 [math(x=a)]에서 극한을 가진다고 하면 [math(x=a)]지점을 포함하는 적당한 열린집합 [math(O_{\delta_{1}})]이 존재하여 다음을 만족한다.
266
||[math(x \in O_{\delta_{1}} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon_{1} ,\ L+\epsilon_{1} \right))]이다. ||
263
함수 [math(f\left(x\right))]가 [math(x=a)]에서 극한을 가진다고 하면 [math(x=a)]지점을 포함하는 적당한 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 다음을 만족한다.
264
||[math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon_{1} ,\ L+\epsilon_{1} \right))]이다. ||
267265
266
곧, [math(x=a)]에서 극한을 가진다면 앞의
267
||[math(L \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon})] ||
268
에 따라 다음을 만족한다.
269
||[math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]이다. ||
270
268271
이것으로 어떤 [math(O_{\epsilon})]을 가져와도 항상 [math(O_{\delta})]를 찾을 수 있다면, [math(f\left(x\right))]가 [math(x=a)]에서 극한을 가짐을 보이기에는 충분하다.
269272
270273
가지는 극한은 위상에 따라 다를 수 있으며 또 유일하지 않을 수 있다. ([math(\mathbb{R})]의 유한여집합위상 등)
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