극한(비교)

 r94 vs r99
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 == 다른 공간에서 극한의 정의 ==
 === 위상공간에서 극한의 정의 ===
-위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점(극한점)을 정의하게 된다.  앞의 [[#엡실론-델타법 정의|엡실론-델타법]]에서 다루는 부등호 식은 바꿔보면 일종의 열린집합과 원소의 포함관계로 표시된다.  ([math(A)] 초과 [math(B)] 미만의 모든 점의 집합을 [math(\left( A,\ B\right))]과 같이 열린구간을 표시한다.)
+위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점(극한점)을 정의하게 된다.
+====# 변환 과정 #====
+앞의 [[#엡실론-델타법 정의|엡실론-델타법]]에서 다루는 부등호 식은 바꿔보면 일종의 열린집합과 원소의 포함관계로 표시된다.  ([math(A)] 초과 [math(B)] 미만의 모든 점의 집합을 [math(\left( A,\ B\right))]과 같이 열린구간을 표시한다.)
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  * 부등식을 집합식으로 변환
 || 번호 || 부등식 || 집합식 ||
 || 1 ||[math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이다. ||[math(x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]이다. ||
-|| 2 ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도  [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다.||
+|| 2 ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도  [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다.||
 여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다.  곧 위상수학에서 다루는 열린집합들로만 함수의 극한의 정의를 표현할 수 있다.
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  * 엡실론-델타법에서 [math(\delta)] 집합 부분 내용의 변화
-보통위상에서 어떤 한 지점 [math(a)]을 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]를 아무 거나 가져와도 그 지점 [math(a)]는 그 열린집합 [math(O_{\delta})]의 내점(interior point)이니 적당한 양수 [math(\delta_{1})]를 가져오면 [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta})]가 된다. {{{#gray (델타를 다루는 부분에서 변형되었음을 이해할 수 있도록 편의상 [math(O)] 아래 [math(\delta)]를 붙여둔다.  그리고 [math(O_{\delta})]가  [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right))] 자체일 수 있다.}}}
+위의 집합식에서, 각 [math(\epsilon)]마다 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있도록 어떤 양수 [math(\delta)]가 존재하여 어떤 한 지점 [math(a)]을 포함하는 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]을 두고 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]으로 [math(x)]의 범위를 잡을 수 있다고 가정해보자.  그러면 해당 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]은 열린집합이므로, 다음 두 비교가 나온다.
+|| 번호 || 식 ||
+|| 1.1. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ... 양수 [math(\delta)]가 존재하여 [math(x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})] 이다. ||
+|| 1.2. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ... [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이다. ||
-앞에서 [math(x=a)]가 [math(D)]의 집적점(극한점)이라는 조건이 있으니 [math(x=a)]를 포함하는 열린집합 [math(O)]를 아무거나 가져와도 집적점의 정의에 따라 다음을 만족한다.
-||[math(\left( O \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)] ||
+앞에서 '''1.1.'''이면 '''1.2.'''이라는 설명이 있으므로, '''1.2.'''이면 '''1.1.'''이라는 설명을 해보자.  [math(a)]를 포함하는 [math(O_{\delta})]를 아무 거나 가져온다고 하자면, 그 지점 [math(a)]는 그 열린집합 [math(O_{\delta})]의 내점(interior point)이니 적당한 양수 [math(\delta_{1})]를 가져오면 [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta})]가 된다.  {{{#gray 이 열린집합이 존재함을 보이는 것만으로도 [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta})]를 만족하는 적당한 [math(\delta_{1})]는 존재하고 곧 엡실론-델타법에서 말하는 [math(\delta)] 열린구간을 찾는 것이 되므로 극한을 가진다고 말할 수 있다.}}}
-따라서 {{{#gray [math(D)]와의 교집합이 공집합으로 되지 않는 집합이므로 [math(O \backslash \left\{ a \right\})]는 공집합이 아니다.  곧}}} [math(O \backslash \left\{ a \right\} \neq \emptyset)]이다.  {{{#gray 따라서 [math(O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\} \neq \emptyset)] 이다.}}}
+이로써 "[math(\epsilon)]값이 어떠하더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있는, [math(a \in O_{\delta})]인 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재할 때 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다"고 바꿀 수 있다.  {{{#gray 곧 델타를 다루는 설명을 열린집합을 다루는 설명으로 바꾸는 것이다.}}}
-이를 이용하여 상기 표의 1번 식의 집합식을 다음과 같이 표현할 수 있다.
-||열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(a \in O_{\delta})]이고 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이다. ||
-여기까지만 보면 "[math(\epsilon)]값이 어떠하더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있는, [math(a \in O_{\delta})]인 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재할 때 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다"고 바꿀 수 있다.
-델타를 다루는 부분이 열린집합을 다루는 부분으로 바뀌었는데, 이 열린집합이 존재함을 보이는 것만으로도 앞의 방법처럼 [math(a \in \left(a-\delta_{2},\ a+\delta_{2} \right) \subset O_{\delta})]를 만족하는 적당한 [math(\delta_{2})]는 존재하고 곧 엡실론-델타법에서 말하는 [math(\delta_{2})] 열린구간을 찾는 것이 되므로 극한을 가진다고 말할 수 있다.
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  * [math(\epsilon)] 집합 부분의 변화
-번 식을 보자.  {{{#gray ([math(f\left(x\right))]의 범위를 다루는 부분인데, 변수 하나의 함수를 [math(y=f\left(x\right))] 식으로 다루는 경우가 많기 때문에 여기에서 집합의 지점이나 범위를 언급할 때 편의상 [math(y)]를 들어서 설명한다.)}}} [math(y=L)] 지점을 포함하는 아무 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 가져온다고 하자. {{{#gray (델타를 언급하는 부분과 같이 여기에서는 엡실론을 언급하므로 [math(O)]에 [math(\epsilon)]을 첨자로 달아놓았다.)}}}
+번 식을 보자.  ([math(f\left(x\right))]의 범위를 다루는 부분인데, 다음 두 비교를 보자.
+|| 번호 || 식 ||
+|| 2.1. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ... [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다. ||
+|| 2.2. ||아무 [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 잡더라도 ... [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]이다. ||
-이 때 [math(y=L)]는 [math(O_{\epsilon})]의 내점이 되는데, 적당한 양수 [math(\epsilon_{1})]을 가져오면 다음을 만족한다.
+먼저 '''2.1.'''이면 '''2.2'''이라는 설명을 해보자.
+[math(L)] 지점을 포함하는 아무 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 가져온다고 하면 [math(L)]는 [math(O_{\epsilon})]의 내점이므로 적당한 양수 [math(\epsilon_{1})]을 가져오면 다음을 만족한다.
 ||[math(L \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon})] ||
-{{{#gray 물론 적당한 양수 [math(\epsilon_{1})]에 대하여 [math(O_{\epsilon})]가 [math(\left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1} \right))] 자체일 수 있다. }}}
-함수 [math(f\left(x\right))]가 [math(x=a)]에서 극한을 가진다고 하면 [math(x=a)]지점을 포함하는 적당한 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 다음을 만족한다.
-||[math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon_{1} ,\ L+\epsilon_{1} \right))]이다. ||
+이 때 '''2.1.'''이라면 [math(\epsilon=\epsilon_{1})]인 경우에서 [math(x=a)]지점을 포함하는 적당한 열린집합 [math(O_{\delta_{1}})]가 존재하므로 다음을 만족한다.
+||[math(x \in O_{\delta_{1}} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon_{1} ,\ L+\epsilon_{1} \right))]이다. ||
-곧, [math(x=a)]에서 극한을 가진다면 앞의
-||[math(L \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon})] ||
-에 따라 다음을 만족한다.
+[math(L \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon})] 이 되므로 곧 다음을 만족한다.
 ||[math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]이다. ||
-이것으로 어떤 [math(O_{\epsilon})]을 가져와도 항상 [math(O_{\delta})]를 찾을 수 있다면, [math(f\left(x\right))]가 [math(x=a)]에서 극한을 가짐을 보이기에는 충분하다.
+이것으로 '''2.1.'''이면 '''2.2'''이다.
+반대로 '''2.2'''이면 '''2.1.'''이 됨을 설명해보자면 '''2.2.'''에서 '''아무''' [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합이므로, [math(O_{\epsilon}=\left(L-\epsilon,\ L+\epsilon\right))]으로 두면 각 [math(\epsilon)]마다 적당한 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하므로 설명은 충분하다.
+==== 변환 ====
+위상에 대한 설명을 하려면 열린집합에 대한 설명으로 번역(?)해야 한다.
+> 정의역을 [math(D)]로 가지는 [math(f)] 함수에서 [math(a)]가 [math(D)]의 집적점일 때,
+> 아무 [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 잡더라도
+> [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]일 경우
+> 함수 [math(f)]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다고 말한다.
 가지는 극한은 위상에 따라 다를 수 있으며 또 유일하지 않을 수 있다. ([math(\mathbb{R})]의 유한여집합위상 등)
 === 변수가 2개 이상인 경우 ===
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