r97 vs r99 | ||
---|---|---|
... | ... | |
233 | 233 | |
234 | 234 | == 다른 공간에서 극한의 정의 == |
235 | 235 | === 위상공간에서 극한의 정의 === |
236 | 위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점(극한점)을 정의하게 된다. 앞의 [[#엡실론-델타법 정의|엡실론-델타법]]에서 다루는 부등호 식은 바꿔보면 일종의 열린집합과 원소의 포함관계로 표시된다. ([math(A)] 초과 [math(B)] 미만의 모든 점의 집합을 [math(\left( A,\ B\right))]과 같이 열린구간을 표시한다.) | |
236 | 위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점(극한점)을 정의하게 된다. | |
237 | ====# 변환 과정 #==== | |
238 | 앞의 [[#엡실론-델타법 정의|엡실론-델타법]]에서 다루는 부등호 식은 바꿔보면 일종의 열린집합과 원소의 포함관계로 표시된다. ([math(A)] 초과 [math(B)] 미만의 모든 점의 집합을 [math(\left( A,\ B\right))]과 같이 열린구간을 표시한다.) | |
239 | ||
237 | 240 | ---- |
238 | 241 | * 부등식을 집합식으로 변환 |
239 | 242 | || 번호 || 부등식 || 집합식 || |
240 | 243 | || 1 ||[math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이다. ||[math(x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]이다. || |
241 | || 2 ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L | |
244 | || 2 ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다.|| | |
242 | 245 | |
243 | 246 | 여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 곧 위상수학에서 다루는 열린집합들로만 함수의 극한의 정의를 표현할 수 있다. |
247 | ||
244 | 248 | ---- |
245 | 249 | * 엡실론-델타법에서 [math(\delta)] 집합 부분 내용의 변화 |
246 | 250 | 위의 집합식에서, 각 [math(\epsilon)]마다 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있도록 어떤 양수 [math(\delta)]가 존재하여 어떤 한 지점 [math(a)]을 포함하는 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]을 두고 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]으로 [math(x)]의 범위를 잡을 수 있다고 가정해보자. 그러면 해당 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]은 열린집합이므로, 다음 두 비교가 나온다. |
247 | 251 | || 번호 || 식 || |
248 | 252 | || 1.1. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ... 양수 [math(\delta)]가 존재하여 [math(x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})] 이다. || |
249 | || 1.2. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ... | |
253 | || 1.2. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ... [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이다. || | |
250 | 254 | |
251 | 앞에서 1.1이면 1.2이라는 설명이 있으므로, 1.2이면 1.1이 | |
255 | 앞에서 '''1.1.'''이면 '''1.2.'''이라는 설명이 있으므로, '''1.2.'''이면 '''1.1.'''이라는 설명을 해보자. [math(a)]를 포함하는 [math(O_{\delta})]를 아무 거나 가져온다고 하자면, 그 지점 [math(a)]는 그 열린집합 [math(O_{\delta})]의 내점(interior point)이니 적당한 양수 [math(\delta_{1})]를 가져오면 [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta})]가 된다. {{{#gray 이 열린집합이 존재함을 보이는 것만으로도 [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta})]를 만족하는 적당한 [math(\delta_{1})]는 존재하고 곧 엡실론-델타법에서 말하는 [math(\delta)] 열린구간을 찾는 것이 되므로 극한을 가진다고 말할 수 있다.}}} | |
252 | 256 | |
253 | 이로 | |
257 | 이로써 "[math(\epsilon)]값이 어떠하더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있는, [math(a \in O_{\delta})]인 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재할 때 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다"고 바꿀 수 있다. {{{#gray 곧 델타를 다루는 설명을 열린집합을 다루는 설명으로 바꾸는 것이다.}}} | |
254 | 258 | |
255 | 259 | ---- |
256 | 260 | * [math(\epsilon)] 집합 부분의 변화 |
257 | 2번 식을 보자. | |
261 | 2번 식을 보자. ([math(f\left(x\right))]의 범위를 다루는 부분인데, 다음 두 비교를 보자. | |
262 | || 번호 || 식 || | |
263 | || 2.1. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ... [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다. || | |
264 | || 2.2. ||아무 [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 잡더라도 ... [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]이다. || | |
258 | 265 | |
259 | 이 | |
266 | 먼저 '''2.1.'''이면 '''2.2'''이라는 설명을 해보자. | |
267 | ||
268 | [math(L)] 지점을 포함하는 아무 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 가져온다고 하면 [math(L)]는 [math(O_{\epsilon})]의 내점이므로 적당한 양수 [math(\epsilon_{1})]을 가져오면 다음을 만족한다. | |
260 | 269 | ||[math(L \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon})] || |
261 | {{{#gray 물론 적당한 양수 [math(\epsilon_{1})]에 대하여 [math(O_{\epsilon})]가 [math(\left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1} \right))] 자체일 수 있다. }}} | |
262 | 270 | |
263 | ||
264 | ||[math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in \left(L | |
271 | 이 때 '''2.1.'''이라면 [math(\epsilon=\epsilon_{1})]인 경우에서 [math(x=a)]지점을 포함하는 적당한 열린집합 [math(O_{\delta_{1}})]가 존재하므로 다음을 만족한다. | |
272 | ||[math(x \in O_{\delta_{1}} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon_{1} ,\ L+\epsilon_{1} \right))]이다. || | |
265 | 273 | |
266 | ||
267 | ||
268 | ||
274 | [math(L \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon})] 이 되므로 곧 다음을 만족한다. | |
269 | 275 | ||[math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]이다. || |
270 | 276 | |
271 | 이것으로 | |
277 | 이것으로 '''2.1.'''이면 '''2.2'''이다. | |
272 | 278 | |
279 | 반대로 '''2.2'''이면 '''2.1.'''이 됨을 설명해보자면 '''2.2.'''에서 '''아무''' [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합이므로, [math(O_{\epsilon}=\left(L-\epsilon,\ L+\epsilon\right))]으로 두면 각 [math(\epsilon)]마다 적당한 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하므로 설명은 충분하다. | |
280 | ||
281 | ==== 변환 ==== | |
282 | 위상에 대한 설명을 하려면 열린집합에 대한 설명으로 번역(?)해야 한다. | |
283 | > 정의역을 [math(D)]로 가지는 [math(f)] 함수에서 [math(a)]가 [math(D)]의 집적점일 때, | |
284 | > 아무 [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 잡더라도 | |
285 | > [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]일 경우 | |
286 | > 함수 [math(f)]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다고 말한다. | |
287 | ||
273 | 288 | 가지는 극한은 위상에 따라 다를 수 있으며 또 유일하지 않을 수 있다. ([math(\mathbb{R})]의 유한여집합위상 등) |
274 | 289 | |
275 | 290 | === 변수가 2개 이상인 경우 === |
... | ... |