극한(비교)

== 다른 공간에서 극한의 정의 ==

=== 위상공간에서 극한의 정의 ===

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* 부등식을 집합식으로 변환

|| 번호 || 부등식 || 집합식 ||

|| 2 ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다.||

여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 곧 위상수학에서 다루는 열린집합들로만 함수의 극한의 정의를 표현할 수 있다.

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* 엡실론-델타법에서 [math(\delta)] 집합 부분 내용의 변화

위의 집합식에서, 각 [math(\epsilon)]마다 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있도록 어떤 양수 [math(\delta)]가 존재하여 어떤 한 지점 [math(a)]을 포함하는 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]을 두고 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]으로 [math(x)]의 범위를 잡을 수 있다고 가정해보자. 그러면 해당 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]은 열린집합이므로, 다음 두 비교가 나온다.

반대로 '''2.2'''이면 '''2.1.'''이 됨을 설명해보자면 '''2.2.'''에서 '''아무''' [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합이므로, [math(O_{\epsilon}=\left(L-\epsilon,\ L+\epsilon\right))]으로 두면 각 [math(\epsilon)]마다 적당한 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하므로 설명은 충분하다.

가지는 극한은 위상에 따라 다를 수 있으며 또 유일하지 않을 수 있다. ([math(\mathbb{R})]의 유한여집합위상 등)

=== 변수가 2개 이상인 경우 ===