r98 vs r103 | ||
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... | ... | |
233 | 233 | |
234 | 234 | == 다른 공간에서 극한의 정의 == |
235 | 235 | === 위상공간에서 극한의 정의 === |
236 | 위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점(극한점)을 정의하게 된다. 앞의 [[#엡실론-델타법 정의|엡실론-델타법]]에서 다루는 부등호 식은 바꿔보면 일종의 열린집합과 원소의 포함관계로 표시된다. ([math(A)] 초과 [math(B)] 미만의 모든 점의 집합을 [math(\left( A,\ B\right))]과 같이 열린구간을 표시한다.) | |
236 | 위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점(극한점)을 정의하게 된다. | |
237 | ====# 변환 과정 #==== | |
238 | 앞의 [[#엡실론-델타법 정의|엡실론-델타법]]에서 다루는 부등호 식은 바꿔보면 일종의 열린집합과 원소의 포함관계로 표시된다. ([math(A)] 초과 [math(B)] 미만의 모든 점의 집합을 [math(\left( A,\ B\right))]과 같이 열린구간을 표시한다.) | |
239 | ||
237 | 240 | ---- |
238 | 241 | * 부등식을 집합식으로 변환 |
239 | 242 | || 번호 || 부등식 || 집합식 || |
... | ... | |
241 | 244 | || 2 ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다.|| |
242 | 245 | |
243 | 246 | 여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 곧 위상수학에서 다루는 열린집합들로만 함수의 극한의 정의를 표현할 수 있다. |
247 | ||
244 | 248 | ---- |
245 | 249 | * 엡실론-델타법에서 [math(\delta)] 집합 부분 내용의 변화 |
246 | 250 | 위의 집합식에서, 각 [math(\epsilon)]마다 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있도록 어떤 양수 [math(\delta)]가 존재하여 어떤 한 지점 [math(a)]을 포함하는 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]을 두고 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]으로 [math(x)]의 범위를 잡을 수 있다고 가정해보자. 그러면 해당 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]은 열린집합이므로, 다음 두 비교가 나온다. |
... | ... | |
274 | 278 | |
275 | 279 | 반대로 '''2.2'''이면 '''2.1.'''이 됨을 설명해보자면 '''2.2.'''에서 '''아무''' [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합이므로, [math(O_{\epsilon}=\left(L-\epsilon,\ L+\epsilon\right))]으로 두면 각 [math(\epsilon)]마다 적당한 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하므로 설명은 충분하다. |
276 | 280 | |
281 | ==== 변환 ==== | |
282 | 위상에 대한 설명을 하려면 열린집합에 대한 설명으로 번역(?)해야 한다. | |
283 | > 정의역을 [math(D)]로 가지는 [math(x)]에 대한 함수 [math(f)]가 있고 [math(a)]가 __위상에서__ [math(D)]의 집적점일 때, | |
284 | > 아무 [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 잡더라도 | |
285 | > [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]일 경우 | |
286 | > 함수 [math(f)]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다고 말한다. | |
287 | ||
288 | 여기에서 위상수학에서 다루는 부분으로 넘어가서 정의를 해보자면 몇 가지의 제약조건이 더 생기게 된다. 앞의 [[#엡실론 델타법|엡실론 델타법]]이 집합 [math(\mathbb{R})]에서 집합[math(\mathbb{R})]으로 가는 함수에 대해서 다뤘다면, 위상공간에서는 일반적으로 위상이 있는 정의역 집합에서 위상이 있는 공역 집합으로 가는 함수에 대해서 다루어야 하며 정의역과 공역의 위상이나 집합이 다를 수 있기 때문이다. | |
289 | ||
277 | 290 | 가지는 극한은 위상에 따라 다를 수 있으며 또 유일하지 않을 수 있다. ([math(\mathbb{R})]의 유한여집합위상 등) |
278 | 291 | |
279 | 292 | === 변수가 2개 이상인 경우 === |
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