나눗셈(비교)

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== 개요 ==

'''나눗셈'''은 {{{#green 주어진 수}}}에 대하여 {{{#olive 어떤 다른 수}}}만큼을 곱하여 {{{#green 주어진 수}}}가 되게 하는 수__가 무엇인지를 계산__하는 연산으로 [[곱셈]]의 역연산이다. {{{#green 주어진 수}}}에서 {{{#olive 어떤 다른 수}}}로 '''나눈다'''고 말한다. 연산기호는 "[math(\div)]"를 사용한다.('''div'''ision) 자연수의 경우 몫과 나머지를 계산하며, 자연수가 아닌 수를 다루어 수체계를 확장한 몫을 구해야 할 경우 분수 기호를 이용하여 나타낸다.

== 몫과 나머지 ==

어떤 자연수에서 다른 자연수로 나누는 경우 몫과 나머지를 계산한다.

(여기에서 "[math(\pmod{})]"를 쓰는 모듈러 연산이 나온다고 한다. 1로 나누기는 재미가 없으므로 최소 2부터 시작한다.)

== 0으로 나누기 ==

"0으로 나누기"는 되지도 않고 정의하지도 않는다.

먼저 0을 곱하여 0이 나올 수 있는 수는 셀 수 없이 많으며, 어떤 수에 0을 곱해도 0이 된다. 곧 [math(1 \times 0 =0)]만이 성립할 뿐만 아니라 [math(2 \times 0 =0)]도 성립한다. 생각을 더 해보면 다음을 알 수 있다.

||[math(0=0\times1=0\times2=0\times3=\ldots)]||

이런 계산에서 시각을 달리 보면, '0으로 나누기'가 되지 않는 이유로는 '''0을 곱해서 0이 아닌 수가 나올 수 없기 때문'''임을 알 수 있다. 1에 0을 곱한 식만 보더라도

[math(1 \times 0 =0)]이지 [math(1 \times 0 {\color{red}\ \neq\ } 1)]이다.

또한 '0으로 나누기'를 하면 '''몫을 결정할 수 없다'''. [math(1)]만 하더라도 얼만큼 나누어야 하는 계산으로서 [math(0)]으로 나누기를 한다고 하면, [math(1)]에서 몇 번이고 [math(0)]을 빼도 [math(1)]은 [math(1)] 그대로 되므로 [math(1)]은 [math(0)]으로 영원히 나누어떨어지지 않는다. [math(1)]만 하더라도 몫을 영원히 결정할 수 없는데 몫이 나올 수 있을까?

0이 아닌 수에서 '0으로 나누기'가 되지 않는데, 0에서 '0으로 나누기'는 가능할까? 불가능하다. [math(0)]에서 [math(0)]을 몇 번이고 빼도 [math(0)]이다. 애초부터 [math(0)]에서 [math(0)]을 빼지 않아도 이미 값은 "어떤 수로 나눈다 해도 나누어떨어진" 값 곧 나눠야 하는 만큼 빼고 나머지가 [math(0)]이 된 상태이다. 이미 이런 상태인 [math(0)]에서 '0으로 나누기'를 도입할 의미가 없다.

이런 혼돈이 있으므로 0으로 나누기는 불가능하다.

=== 비슷한 것 ===

[math(0^0)] 역시 정의하지 않는다.

[[제곱]]의 의미를 다시 보자면 [math(0)]을 몇 번 곱한 것과 같으냐에 따라 지수를 매기는 의미이다.

함수[math(f(x)=x^{x})]에 대하여 [math(f(0)=0^0)]에서

[math(f(0)={\displaystyle{\lim_{x \to 0^{-}} {f(x)}}})]

이라는 등식조차 성립이 불가능하다. ([math(x=0)]에서 [[연속(수학)|연속]]이 아니다.)

우변은 좌극한[* 수직선을 생각해보면 어떤 지점에서 왼쪽(좌측)에서 다가오는 극한 곧 음의 방향에서 다가오는 극한이다.]이 되는데, 이는 발산한다. (음수의 짝수 분의 1을 생각해보자. 곧 적당한 [math(n)]에 대하여 [math(x={{1}\over{2n}})]을 생각해보자.) 이러므로 [math(0^0)]은 정의하지 않는다.

단, [math(n^0 \; (n\neq 0))] 은 항상 1이다. 이유는 [[거듭제곱#0제곱|거듭제곱]] 문서 참조.

([math(1)]을 기준으로 정의한다면 __억지로 [math(0^0=1)]이라고 말할 수는 있겠으나__ 이는 권장하지 않는다.)

다만 [math(\displaystyle{\lim_{x \to 0+} {x^x} =1})]임이 알려져 있다. 자세한 풀이는 [[미분]] 연산법을 도입하는 [[로피탈의 정리]]와 [[자연로그]]를 이용한 [[극한]]의 계산 참조.