나눗셈

나눗셈은 주어진 수에 대하여 어떤 다른 수만큼을 곱하여 주어진 수가 되게 하는 수가 무엇인지를 계산하는 연산으로 곱셈의 역연산이다. 주어진 수에서 어떤 다른 수로 나눈다고 말한다. 연산기호는 "$\div$"를 사용한다.(division) 자연수의 경우 몫과 나머지를 계산하며, 자연수가 아닌 수를 다루어 수체계를 확장한 몫을 구해야 할 경우 분수 기호를 이용하여 나타낸다.

어떤 자연수에서 다른 자연수로 나누는 경우 몫과 나머지를 계산한다.

(여기에서 "$\pmod{}$"를 쓰는 모듈러 연산이 나온다고 한다. 1로 나누기는 재미가 없으므로 최소 2부터 시작한다.)

"0으로 나누기"는 되지도 않고 정의하지도 않는다.

먼저 0을 곱하여 0이 나올 수 있는 수는 셀 수 없이 많으며, 어떤 수에 0을 곱해도 0이 된다. 곧 $1 \times 0 =0$만이 성립할 뿐만 아니라 $2 \times 0 =0$도 성립한다. 생각을 더 해보면 다음을 알 수 있다.

이런 계산에서 시각을 달리 보면, '0으로 나누기'가 되지 않는 이유로는 0을 곱해서 0이 아닌 수가 나올 수 없기 때문임을 알 수 있다. 1에 0을 곱한 식만 보더라도

또한 '0으로 나누기'를 하면 몫을 결정할 수 없다. $1$만 하더라도 얼만큼 나누어야 하는 계산으로서 $0$으로 나누기를 한다고 하면, $1$에서 몇 번이고 $0$을 빼도 $1$은 $1$ 그대로 되므로 $1$은 $0$으로 영원히 나누어떨어지지 않는다. $1$만 하더라도 몫을 영원히 결정할 수 없는데 몫이 나올 수 있을까?

0이 아닌 수에서 '0으로 나누기'가 되지 않는데, 0에서 '0으로 나누기'는 가능할까? 불가능하다. $0$에서 $0$을 몇 번이고 빼도 $0$이다. 애초부터 $0$에서 $0$을 빼지 않아도 이미 값은 "어떤 수로 나눈다 해도 나누어떨어진" 값 곧 나눠야 하는 만큼 빼고 나머지가 $0$이 된 상태이다. 이미 이런 상태인 $0$에서 '0으로 나누기'를 도입할 의미가 없다.
이런 혼돈이 있으므로 0으로 나누기는 불가능하다.

$0^0$ 역시 정의하지 않는다.
제곱의 의미를 다시 보자면 $0$을 몇 번 곱한 것과 같으냐에 따라 지수를 매기는 의미이다.
함수$f(x)=x^{x}$에 대하여 $f(0)=0^0$에서
$f(0)={\displaystyle{\lim_{x \to 0^{-}} {f(x)}}}$
이라는 등식조차 성립이 불가능하다. ($x=0$에서 연속이 아니다.)
우변은 좌극한[1]이 되는데, 이는 발산한다. (음수의 짝수 분의 1을 생각해보자. 곧 적당한 $n$에 대하여 $x={{1}\over{2n}}$을 생각해보자.) 이러므로 $0^0$은 정의하지 않는다.

단, $n^0 \; (n\neq 0)$ 은 항상 1이다. 이유는 거듭제곱 문서 참조.

($1$을 기준으로 정의한다면 억지로 $0^0=1$이라고 말할 수는 있겠으나 이는 권장하지 않는다.)
다만 $\displaystyle{\lim_{x \to 0+} {x^x} =1}$임이 알려져 있다. 자세한 풀이는 미분 연산법을 도입하는 로피탈의 정리와 자연로그를 이용한 극한의 계산 참조.