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나눗셈(비교)

r3 vs r6
......
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||||||||<width=100.00%><bgcolor=#00BFFF> {{{#white {{{+1 사칙연산}}}{{{-1 [br] The four Operations}}}}}} ||
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||<width=25.00%> [[덧셈]]{{{-1 [br] Addition}}} ||<width=25.00%> [[뺄셈]]{{{-1 [br] Subtraction}}} ||<width=25.00%> [[곱셈]]{{{-1 [br] Multiplication}}} ||<width=25.00%> [[나눗셈]]{{{-1 [br] Division}}} ||
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== 0으로 나누기 ==
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0으로 나누기는 되지도 않고 정의하지도 않는다.
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* 어떤 수든 0을 곱하면 0이 되기 때문. 반대로 보면, '''0을 곱해서 0이 아닌 수가 나올 수 없기 때문'''이다. 1에 0을 곱한 식만 보더라도
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"0으로 나누기"는 되지도 않고 정의하지도 않는다.
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먼저 0을 곱하여 0이 나올 수 있는 수는 셀 수 없이 많으며, 어떤 수에 0을 곱해도 0이 된다. 곧 [math(1 \times 0 =0)]만이 성립할 뿐만 아니라 [math(2 \times 0 =0)]도 성립한다. 생각을 더 해보면 다음을 알 수 있다.
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||[math(0=0\times1=0\times2=0\times3=\ldots)]||
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이런 계산에서 시각을 달리 보면, '0으로 나누기'가 되지 않는 이유로는 '''0을 곱해서 0이 아닌 수가 나올 수 없기 때문'''임을 알 수 있다. 1에 0을 곱한 식만 보더라도
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[math(1 \times 0 =0)]이지 [math(1 \times 0 {\color{red}\ \neq\ } 1)]이다.
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* 또한 0으로 나누기를 하면 '''몫을 결정할 수 없다'''. [math(1)]만 하더라도 얼만큼 나누어야 하는 계산으로서 [math(0)]으로 나누기를 한다고 하면, [math(1)]에서 몇 번이고 [math(0)]을 빼도 [math(1)]은 [math(1)] 그대로 되므로 [math(1)]은 [math(0)]으로 영원히 나누어떨어지지 않는다. [math(1)]만 하더라도 몫을 영원히 결정할 수 없는데 몫이 나올 수 있을까?
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* 0이 아닌 수에서 0으로 나누기가 되지 않는데, 0에서 0으로 나누기는 가능할까? 불가능하다. '''0을 곱함으로써 0이 나올 수 있는 서로 다른 수는 무수히 많기 때문.''' 앞의 식에서
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[math(1 \times 0 =0)]일 뿐만 아니라 [math(2 \times 0 =0)]도 성립한다. 생각을 더 해보면
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[math(0=0\times1=0\times2=0\times3=\ldots)]
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임을 알 수 있다.
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여기에서 0으로 나누기가 정의되면 서로 다른 수가 서로 같게 되는 오류가 발생한다. (0으로 나누는 결과가 2개 이상이 나온다.)
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* 이런 혼돈이 있으므로 0으로 나누기는 불가능하다.
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또한 '0으로 나누기'를 하면 '''몫을 결정할 수 없다'''. [math(1)]만 하더라도 얼만큼 나누어야 하는 계산으로서 [math(0)]으로 나누기를 한다고 하면, [math(1)]에서 몇 번이고 [math(0)]을 빼도 [math(1)]은 [math(1)] 그대로 되므로 [math(1)]은 [math(0)]으로 영원히 나누어떨어지지 않는다. [math(1)]만 하더라도 몫을 영원히 결정할 수 없는데 몫이 나올 수 있을까?
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0이 아닌 수에서 '0으로 나누기'가 되지 않는데, 0에서 '0으로 나누기'는 가능할까? 불가능하다. [math(0)]에서 [math(0)]을 몇 번이고 빼도 [math(0)]이다. 애초부터 [math(0)]에서 [math(0)]을 빼지 않아도 이미 값은 "어떤 수로 나눈다 해도 나누어떨어진" 값 곧 나눠야 하는 만큼 빼고 나머지가 [math(0)]이 된 상태이다. 이미 이런 상태인 [math(0)]에서 '0으로 나누기'를 도입할 의미가 없다.
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이런 혼돈이 있으므로 0으로 나누기는 불가능하다.
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=== 비슷한 것 ===
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[math(0^0)] 역시 정의하지 않는다.
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[[제곱]]의 의미를 다시 보자면 [math(0)]을 몇 번 곱한 것과 같으냐에 따라 지수를 매기는 의미인데, 지수가 [math(0)]인 것을 정의하려면 곱셈에 대한 역연산에서 [math(0)]에 대산 연산 곧 '0으롶나누기'가 정의되어야 하기 때문.
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(물론 [math(1)]을 기준으로 정의한다면 __억지로 [math(0^0=1)]이라고 말할 수는 있겠__으나 권장하지 않는다.)
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다만 [math(\displaystyle{\lim_{x \to 0+} {x^x} =1})]임이 알려져 있다. 자세한 풀이는 [[미분]]연산법을 도입하는 [[로피탈의 정리]]를 참조.