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나눗셈(비교)

r5 vs r10
11
[[분류:수학]]
2
||||||||<width=100.00%><bgcolor=#00BFFF> {{{#white {{{+1 사칙연산}}}{{{-1 [br] The four Operations}}}}}} ||
3
||<width=25.00%> [[덧셈]]{{{-1 [br] Addition}}} ||<width=25.00%> [[뺄셈]]{{{-1 [br] Subtraction}}} ||<width=25.00%> [[곱셈]]{{{-1 [br] Multiplication}}} ||<width=25.00%> [[나눗셈]]{{{-1 [br] Division}}} ||
2
[include(틀:사칙연산)]
43
4
[목차]
55
== 0으로 나누기 ==
6
0으로 나누기는 되지도 않고 정의하지도 않는다.
6
"0으로 나누기"는 되지도 않고 정의하지도 않는다.
77
8
어떤 수든 0을 곱하면 0이 되는 계산에서 시각을 달리 보면, '''0을 곱해서 0이 아닌 수가 나올 수 없기 때문'''임을 알 수 있다. 1에 0을 곱한 식만 보더라도
8
먼저 0을 곱하여 0이 나올 수 있는 수는 셀 수 없이 많으며, 어떤 수에 0을 곱해도 0이 된다. 곧 [math(1 \times 0 =0)]만이 성립할 뿐만 아니라 [math(2 \times 0 =0)]도 성립한다. 생각을 더 해보면 다음을 알 수 있다.
9
||[math(0=0\times1=0\times2=0\times3=\ldots)]||
10
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이런 계산에서 시각을 달리 보면, '0으로 나누기'가 되지 않는 이유로는 '''0을 곱해서 0이 아닌 수가 나올 수 없기 때문'''임을 알 수 있다. 1에 0을 곱한 식만 보더라도
912
[math(1 \times 0 =0)]이지 [math(1 \times 0 {\color{red}\ \neq\ } 1)]이다.
1013
11
또한 0으로 나누기를 하면 '''몫을 결정할 수 없다'''. [math(1)]만 하더라도 얼만큼 나누어야 하는 계산으로서 [math(0)]으로 나누기를 한다고 하면, [math(1)]에서 몇 번이고 [math(0)]을 빼도 [math(1)]은 [math(1)] 그대로 되므로 [math(1)]은 [math(0)]으로 영원히 나누어떨어지지 않는다. [math(1)]만 하더라도 몫을 영원히 결정할 수 없는데 몫이 나올 수 있을까?
14
또한 '0으로 나누기'를 하면 '''몫을 결정할 수 없다'''. [math(1)]만 하더라도 얼만큼 나누어야 하는 계산으로서 [math(0)]으로 나누기를 한다고 하면, [math(1)]에서 몇 번이고 [math(0)]을 빼도 [math(1)]은 [math(1)] 그대로 되므로 [math(1)]은 [math(0)]으로 영원히 나누어떨어지지 않는다. [math(1)]만 하더라도 몫을 영원히 결정할 수 없는데 몫이 나올 수 있을까?
1215
13
0이 아닌 수에서 0으로 나누기가 되지 않는데, 0에서 0으로 나누기는 가능할까? 불가능하다. '''0을 곱함으로써 0이 나올 수 있는 서로 다른 수는 셀 수 없이 많기 때문.''' 앞의 식에서
14
[math(1 \times 0 =0)]일 뿐만 아니라 [math(2 \times 0 =0)]도 성립한다. 생각을 더 해보면 다음을 알 수 있다.
15
||[math(0=0\times1=0\times2=0\times3=\ldots)]||
16
여기에서 0으로 나누기가 정의되면 서로 다른 수가 서로 같게 되는 오류가 발생한다. (0으로 나누는 결과가 2개 이상이 나온다.)
16
0이 아닌 수에서 '0으로 나누기'가 되지 않는데, 0에서 '0으로 나누기'는 가능할까? 불가능하다. [math(0)]에서 [math(0)]을 몇 번이고 빼도 [math(0)]이다. 애초부터 [math(0)]에서 [math(0)]을 빼지 않아도 이미 값은 "어떤 수로 나눈다 해도 나누어떨어진" 값 곧 나눠야 하는 만큼 빼고 나머지가 [math(0)]이 된 상태이다. 이미 이런 상태인 [math(0)]에서 '0으로 나누기'를 도입할 의미가 없다.
1717
이런 혼돈이 있으므로 0으로 나누기는 불가능하다.
1818
1919
=== 비슷한 것 ===
2020
[math(0^0)] 역시 정의하지 않는다.
21
다만 [math(\displaystyle{\lim_{x \to 0+} {x^x} =1})]임이 알려져 있다.
21
[[제곱]]의 의미를 다시 보자면 [math(0)]을 몇 번 곱한 것과 같으냐에 따라 지수를 매기는 의미인데, 지수가 [math(0)]인 것을 정의하려면 곱셈에 대한 역연산에서 [math(0)]에 대산 연산 곧 '0으로 나누기'가 정의되어야 하기 때문.
22
23
([math(1)]을 기준으로 정의한다면 __억지로 [math(0^0=1)]이라고 말할 수는 있겠__으나 이는 권장하지 않는다.)
24
다만 [math(\displaystyle{\lim_{x \to 0+} {x^x} =1})]임이 알려져 있다. 자세한 풀이는 [[미분]] 연산법을 도입하는 [[로피탈의 정리]]와 [[자연로그]]를 이용한 [[극한]]의 계산 참조.