삼각함수(비교)

[[분류:수학]]

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== 삼각비 ==

직각__삼각__형에서 밑변과 높이의 끼인각을 90°라고 했을 때,

빗변, 밑변, 높이변의 길이의 __[[비(수학)|비]]__를 빗변과 밑변 사이 끼인각의 크기에 따라 나타낸 값이다.

빗변과 높이변이 만나는 점을 [math(A)], 빗변과 밑변이 만나는 점을 [math(B)], 밑변과 높이변이 만나는 점을 [math(C)] 라고 하자. 빗변과 밑변 사이 끼인각의 크기를 [math(\angle B)]라고 할 때 삼각비의 정의(Definition)는 다음과 같다.

||* [math(\displaystyle{\sin {\angle B} ={{\text{{\color{blue}높이변}의 길이}}\over{\text{{\color{red}빗변}의 길이}}}})] : 사인('''sin'''e)

* [math(\displaystyle{\cos {\angle B} ={{\text{{\color{green}밑변}의 길이}}\over{\text{{\color{red}빗변}의 길이}}}})] : 코사인('''cos'''ine)

* [math(\displaystyle{\tan {\angle B} ={{\text{{\color{blue}높이변}의 길이}}\over{\text{{\color{green}밑변}의 길이}}}})] : 탄젠트('''tan'''gent)||

흔히 쓰이는 각은 0°, 30°, 45°, 60°, 90°가 있다. 30°와 60°에 대한 삼각비는 정삼각형에서 구할 수 있으며, 45°에 대한 삼각비는 직각이등변삼각형에서 구할 수 있다. 다음은 0°, 30°, 45°, 60°, 90°에 대한 삼각비를 나타낸 표이다.

||<width=20%> 각 ||<width=16%> [math(0°)] ||<width=16%> [math(30°)] ||<width=16%> [math(45°)] ||<width=16%> [math(60°)] ||<width=16%> [math(90°)] ||

|| [math(\sin(\text{각}))] || [math(0)] || [math(\displaystyle{{\sqrt{1}}\over{2}})] || [math(\displaystyle{{\sqrt{2}}\over{2}})] || [math(\displaystyle{{\sqrt{3}}\over{2}})] || [math(1)] ||

|| [math(\cos(\text{각}))] || [math(1)] || [math(\displaystyle{{\sqrt{3}}\over{2}})] || [math(\displaystyle{{\sqrt{2}}\over{2}})] || [math(\displaystyle{{\sqrt{1}}\over{2}})] || [math(0)] ||

|| [math(\tan(\text{각}))] || [math(0)] || [math(\displaystyle{{\sqrt{3}}\over{3}})] || [math(\displaystyle{1})] || [math(\displaystyle{\sqrt{3}})] || {{{-2 정의하지 않음}}} ||

상용로그표처럼 0°부터 90°까지의 사인, 코사인, 탄젠트 값을 1°단위로 계산한 값을 나열한 삼각비 표가 있다. 수학 교과서(보통 "수학 I" 책)의 부록으로 상용로그표와 같이 실려 있으며, 보통 소숫점 아래 다섯자리에서 반올림한 값이 나열되어 있다.

== 삼각함수의 개요 ==

삼각비는 0도 에서 90도 까지 사용했다면 이제는 예각이 아닌 일반각으로 확장시킨 것이다.

== 호도법 ==

원의 중심점을 [math(O)][*Circle 원의 중심점은 (Center of a circle이라고도 하지만) '''O'''rigin of a circle, 원의 반지름은 '''r'''adius of a circle. 원은 어떤 지점을 기원으로 하여 일정한 거리만큼 떨어져 있는 지점들을 모은 도형으로 정의할 수 있다.]라 하고, 원의 반지름의 길이를 [math(r)][*Circle]이라 하자.

원에서 호의 길이는 내부 끼인 각의 크기에 비례하는데, 호의 끼인각이 [math(O)]를 중심으로 360° 곧 한 바퀴이면 호의 길이는 원 둘레가 되면서 [math({\color{blue}2\pi} \times r)]로 된다는 것에 착안하여 단위가 만들어진다.

세는 기준의 단위인 [[1|숫자 1]]을 기준으로 호의 길이가 [math({\color{blue}1} \times r)]이 되게 하는 호의 끼인각을 생각해볼 수 있다.

이 각의 크기를 [math(x°)]이라 두고, 각의 크기와 호의 길이에 관한 비례식을 다음과 같이 세울 수 있다. (여기에서 각의 단위인 °는 생략한다.)

||[math(360 : ({\color{blue}2\pi} \times r) = x : ({\color{blue}1} \times r))]||

내항과 외항의 곱이 서로 같음을 이용하면 다음과 같이 미지수 [math(x)]에 관한 일차방정식을 얻을 수 있다.

||[math(({\color{blue}2\pi} \times r) \times x = 360\times ({\color{blue}1} \times r))]||

([math(r)]은 0보다 큰 값이므로 나누기가 되며[* [math(r=0)]인 경우를 생각할 수 있겠지만, 이 경우에는 원이 원이 아니라 '''점'''이 된다. 또한 이런 경우에서 삼각비를 구할 때 (빗변부터 그 길이가 0이 되어) 0으로 나누기가 되므로 [math(r=0)]인 경우는 생각하지 않는다.]) 위의 식에서 양변을 [math({\color{blue}2\pi} \times r)]로 나누면 다음을 얻는다.

||[math(\displaystyle x = {{360\times ({\color{blue}1} \times r)}\over{{\color{blue}2\pi} \times r}})]||

식을 정리하면 다음을 얻는다.

||[math(\displaystyle x = {{180}\over{\pi}})]||

따라서 호의 길이가 [math({\color{blue}1} \times r)]이 되게 하는 호의 끼인각은 [math(\displaystyle {{180}\over{\pi}}°)]가 되는데, 이것과 같은 크기의 각을 "'''라디안(Radian)'''"이라는 새로운 단위로 두어 "1 라디안" 이라고 부른다. 다시 말해, 각의 크기의 단위인 라디안을 다음과 같이 정의한다.

||[math(1\ \text{{\color{Green}라디안}} = \displaystyle{{180}\over{\pi}}°)]||

== 좌표 ==

좌표에서 x축의 양의 방향에서 시작한다. 반지름이 1인 원을 그리고 그 위에 있는 임의의 점을 [math(\mathrm P \left(x,~y\right))]라고 한다. 가운데에서 시계 반대 방향 회전을 각의 양의 방향이라고 하고, 그 각을 [math(\theta)]라고 하면 삼각함수가 만들어진다.

{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\begin{array}{cc} \begin{aligned} \cos\theta &= x \\ \sin\theta &= y \\ \tan\theta &= \dfrac yx \end{aligned} \end{array})]

이 식을 조금 변형하면

[math(\begin{array}{cc}\begin{aligned} \sec\theta &= \dfrac1{\cos\theta} = \dfrac1x \\ \csc\theta &= \dfrac1{\sin\theta} = \dfrac1y \\ \cot\theta &= \dfrac1{\tan\theta} = \dfrac xy \end{aligned} \end{array})]

이 된다.}}}

이때, [math(\theta)]는 예각이 아닌 일반각이다.

그렇다면 이제는 반지름이 1이 아닌 r로 정의해보자. 이번에 등장하는 삼각함수는

{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\begin{array}{cc} \begin{aligned} \cos\theta &= \dfrac xr \\ \sin\theta &= \dfrac yr \\ \tan\theta &= \dfrac yx \\ \sec\theta &= \dfrac rx \\ \csc\theta &= \dfrac ry \\ \cot\theta &= \dfrac xy \end{aligned} \end{array})]

가 된다.}}}