원의 중심점을

O

[Circle]라 하고, 원의 반지름의 길이를

r

[Circle]이라 하자.
원에서 호의 길이는 내부 끼인 각의 크기에 비례하는데, 호의 끼인각이

O

를 중심으로 360° 곧 한 바퀴이면 호의 길이는 원 둘레가 되면서

{\color{blue}2\pi} \times r

로 된다는 것에 착안하여 단위가 만들어진다.

세는 기준의 단위인 숫자 1을 기준으로 호의 길이가

{\color{blue}1} \times r

이 되게 하는 호의 끼인각을 생각해볼 수 있다.
이 각의 크기를

x°

이라 두고, 각의 크기와 호의 길이에 관한 비례식을 다음과 같이 세울 수 있다. (여기에서 각의 단위인 °는 생략한다.)

360 : ({\color{blue}2\pi} \times r) = x : ({\color{blue}1} \times r)

내항과 외항의 곱이 서로 같음을 이용하면 다음과 같이 미지수

x

에 관한 일차방정식을 얻을 수 있다.

({\color{blue}2\pi} \times r) \times x = 360\times ({\color{blue}1} \times r)

(

r

은 0보다 큰 값이므로 나누기가 되며[3]) 위의 식에서 양변을

{\color{blue}2\pi} \times r

로 나누면 다음을 얻는다.

\displaystyle x = {{360\times ({\color{blue}1} \times r)}\over{{\color{blue}2\pi} \times r}}

식을 정리하면 다음을 얻는다.

\displaystyle x = {{180}\over{\pi}}

따라서 호의 길이가

{\color{blue}1} \times r

이 되게 하는 호의 끼인각은

\displaystyle {{180}\over{\pi}}°

가 되는데, 이것과 같은 크기의 각을 "라디안(Radian)"이라는 새로운 단위로 두어 "1 라디안" 이라고 부른다. 다시 말해, 각의 크기의 단위인 라디안을 다음과 같이 정의한다.

1\ \text{{\color{Green}라디안}} = \displaystyle{{180}\over{\pi}}°