| r15 vs r18 | ||
|---|---|---|
| ... | ... | |
| 65 | 65 | == 여러 실수의 성질 증명 == |
| 66 | 66 | 보기에도 당연해 보이는 것을 왜 증명해야 하는지 생각할 수 있지만, 참인지 거짓인지 명확하지 못하는 전제를 두고 증명을 하는 일은 의미가 없다. 반례가 것이 전혀 없는지도 불확실하기 때문. (이는 다른 정리나 명제를 증명할 때에도 동일하다.) 그래서 참이라고 여기는 것을 시작으로 여러 가지 성질을 증명하는 것이다. |
| 67 | 67 | |
| 68 | 임의의 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 몇 가지 증명을 해본다. | |
| 68 | 임의의 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 몇 가지 증명을 해본다. (앞에서 언급된 [math(a)], [math(b)], [math(c)]는 문자를 빌려 표현한 것이며 여기서 언급하는 [math(a)], [math(b)], [math(c)]와 독립이다.) | |
| 69 | 69 | |
| 70 | 곱셈 기호에서 [math(\times)]와 [math(•)]를 병행하여 사용함을 밝힌다. | |
| 71 | ||
| 70 | 72 | === 0과 1을 이용한 정리 === |
| 71 | 73 | 먼저 [math(0 \in \mathbb{R})]이 성립하므로 다음이 성립한다. |
| 72 | 1. 실수 [math(0)]과 [math({\color{blue}0})]의 덧셈은 실수이다. ([[#Axiom 1.1|Axiom 1.1]]. 덧셈연산의 닫힘) | |
| 74 | '''Lemma 1.1.'''[anchor(Lemma 1.1)) 실수 [math(0)]과 [math({\color{blue}0})]의 덧셈은 실수이다. ([[#Axiom 1.1|Axiom 1.1]]. 덧셈연산의 닫힘) | |
| 73 | 75 | 따라서 [math(0{\color{blue}+0} \in \mathbb{R})]이 성립한다. |
| 74 | 1. | |
| 76 | '''Lemma 1.2.'''[anchor(Lemma 1.2)] 실수 [math({\color{blue}0})]은 덧셈연산에 대한 실수 [math(0)]의 항등원이다. ([[#Axiom 1.4|Axiom 1.4]] 덧셈에 대한 항등원. 알기 쉽도록 색을 파랗게 칠한다.) | |
| 75 | 77 | 따라서 [math(0{\color{blue}+0}=0)]이 성립한다. |
| 76 | 1. 실수 [math(1)]에 대한 덧셈연산의 역원이 존재하며 다음이 성립한다. ([[#Axiom 1.5|Axiom 1.5]]. 덧셈에 대한 역원) | |
| 78 | '''Lemma 1.3.'''[anchor(Lemma 1.3)] 실수 [math(1)]에 대한 덧셈연산의 역원이 존재하며 다음이 성립한다. ([[#Axiom 1.5|Axiom 1.5]]. 덧셈에 대한 역원) | |
| 77 | 79 | ||[math({\color{green}-1} \in \mathbb{R})]이고 [math(1{\color{green}+(-1)}=0)] 이다.|| |
| 78 | 80 | |
| 79 | 81 | === [math(a \times 0 =0\text{. 곧 })]0을 곱하면 0이 된다. === |
| 80 | {{{+1 '''1.'''}}} | |
| 82 | {{{+1 '''1.'''}}} [math(a)]와 [math(0)]은 각각 실수이므로 이 둘의 곱인 [math(a \times 0)]은 실수이다. ([[#Axiom 1.6|Axiom 1.6]]. 곱셈연산의 닫힘) | |
| 81 | 83 | |
| 84 | {{{+1 '''2.'''}}} '''1.'''에서 [math(a \times 0)]에 대하여 다음 둘을 만족한다. | |
| 85 | i. [math((a \times 0) {\color{blue}+0}=a \times 0)] ([[#Axiom 1.4|Axiom 1.4]]. 덧셈에 대한 [math(a \times 0)]의 항등원 [math({\color{blue}0})]) | |
| 86 | i. [math((a \times 0) {\color{green}+(-(a \times 0))}=0)] ([[#Axiom 1.5|Axiom 1.5]]. 덧셈에 대한 [math(a \times 0)]의 역원 [math({\color{green}-(a \times 0)})]) | |
| 82 | 87 | |
| 88 | {{{+1 '''3.'''}}} 앞의 '''[[#Lemma 1.1|Lemma 1.1]]'''을 이용하여 '''2.'''의 '''ii.'''을 다음과 같이 바꿀 수 있다. | |
| 89 | || [math(a \times {\color{blue}0} +(-(a \times 0))=0)]|| | |
| 90 | 곧 위 식에서 파랗게 칠한 [math(0)]을 이용한다. | |
| 91 | || [math(a \times {\color{blue}(0+0)} +(-(a \times 0))=0)]|| | |
| 92 | ||
| 93 | {{{+1 '''4'''}}} '''3.'''에서 [math(a \times (0+0))]에 대하여 ([math(a)]와 [math(0)]은 각각 실수이므로) 다음을 만족한다. ([[#Axiom 1.11|Axiom 1.11]]. 분배법칙)]) | |
| 94 | ||[math(a \times (0+0)=a\times 0 + a\times 0)]|| | |
| 95 | 따라서 다음을 만족한다. (파랗게 칠한 부분) | |
| 96 | ||[math({\color{blue}a \times (0+0)}+(-(a \times 0))={\color{blue}(a \times 0 + a \times 0))}+(-(a \times 0))=0)]|| | |
| 97 | ||
| 98 | {{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 식에서 [math({\color{blue}(a \times 0 + a \times 0))}+(-(a \times 0))=0)]의 (파랗게 칠한 부분의) 괄호를 옮기면 다음과 같이 된다. ([[#Axiom 1.3|Axiom 1.3]]. 덧셈에 대한 결합법칙) | |
| 99 | ||[math(a \times 0 + {\color{red}(}a \times 0 +(-(a \times 0)){\color{red})}=0)]|| | |
| 100 | ||
| 101 | {{{+1 '''6.'''}}} '''5.'''에서 '''2.'''의 '''ii.'''을 이용하여, 다음을 얻는다. ([[#Axiom 1.5|Axiom 1.5]]. 덧셈에 대한 [math(a \times 0)]의 역원 [math({\color{green}-(a \times 0)})]) | |
| 102 | ||[math(a \times 0 + ({\color{green}a \times 0 +(-(a \times 0))})= a \times 0 + ({\color{green}0}) = 0)]|| | |
| 103 | ||
| 104 | {{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 '''2.'''의 '''i.'''을 이용하여, 다음을 얻는다. ([[#Axiom 1.4|Axiom 1.4]]. 덧셈에 대한 [math(a \times 0)]의 항등원 [math({\color{blue}0})]) | |
| 105 | ||[math( a \times 0 + {\color{blue}0} = a \times 0 = 0)]|| | |
| 106 | ||
| 107 | ||
| 108 | ||
| 83 | 109 | [[분류:수학]][[분류:더새드위키 수학 프로젝트]] |