| r18 vs r23 | ||
|---|---|---|
| ... | ... | |
| 78 | 78 | '''Lemma 1.3.'''[anchor(Lemma 1.3)] 실수 [math(1)]에 대한 덧셈연산의 역원이 존재하며 다음이 성립한다. ([[#Axiom 1.5|Axiom 1.5]]. 덧셈에 대한 역원) |
| 79 | 79 | ||[math({\color{green}-1} \in \mathbb{R})]이고 [math(1{\color{green}+(-1)}=0)] 이다.|| |
| 80 | 80 | |
| 81 | === [math(a \times 0 =0\text{. 곧 })]0을 곱하면 0이 된다. === | |
| 81 | === {{{-2 [math(a \times 0 =0\ \text{이다. 곧 })]}}}실수에 0을 곱하면 0이 된다. === | |
| 82 | ||'''Theorem 1.4''' [anchor(Theorem 1.4)] | |
| 83 | [math(a \times 0 =0)]|| | |
| 84 | (이 증명에 사용되는 [math(a)], [math(b)]는 다른 증명과 독립이다.) | |
| 82 | 85 | {{{+1 '''1.'''}}} [math(a)]와 [math(0)]은 각각 실수이므로 이 둘의 곱인 [math(a \times 0)]은 실수이다. ([[#Axiom 1.6|Axiom 1.6]]. 곱셈연산의 닫힘) |
| 83 | 86 | |
| 84 | 87 | {{{+1 '''2.'''}}} '''1.'''에서 [math(a \times 0)]에 대하여 다음 둘을 만족한다. |
| ... | ... | |
| 93 | 96 | {{{+1 '''4'''}}} '''3.'''에서 [math(a \times (0+0))]에 대하여 ([math(a)]와 [math(0)]은 각각 실수이므로) 다음을 만족한다. ([[#Axiom 1.11|Axiom 1.11]]. 분배법칙)]) |
| 94 | 97 | ||[math(a \times (0+0)=a\times 0 + a\times 0)]|| |
| 95 | 98 | 따라서 다음을 만족한다. (파랗게 칠한 부분) |
| 96 | ||[math({\color{blue}a \times (0+0)}+(-(a \times 0))={\color{blue}(a \times 0 + a \times 0) | |
| 99 | ||[math({\color{blue}a \times (0+0)}+(-(a \times 0))={\color{blue}(a \times 0 + a \times 0)}+(-(a \times 0))=0)]|| | |
| 97 | 100 | |
| 98 | {{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 식에서 [math({\color{blue}(a \times 0 + a \times 0) | |
| 101 | {{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 식에서 [math({\color{blue}(a \times 0 + a \times 0)}+(-(a \times 0))=0)]의 (파랗게 칠한 부분의) 괄호를 옮기면 다음과 같이 된다. ([[#Axiom 1.3|Axiom 1.3]]. 덧셈에 대한 결합법칙) | |
| 99 | 102 | ||[math(a \times 0 + {\color{red}(}a \times 0 +(-(a \times 0)){\color{red})}=0)]|| |
| 100 | 103 | |
| 101 | 104 | {{{+1 '''6.'''}}} '''5.'''에서 '''2.'''의 '''ii.'''을 이용하여, 다음을 얻는다. ([[#Axiom 1.5|Axiom 1.5]]. 덧셈에 대한 [math(a \times 0)]의 역원 [math({\color{green}-(a \times 0)})]) |
| ... | ... | |
| 104 | 107 | {{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 '''2.'''의 '''i.'''을 이용하여, 다음을 얻는다. ([[#Axiom 1.4|Axiom 1.4]]. 덧셈에 대한 [math(a \times 0)]의 항등원 [math({\color{blue}0})]) |
| 105 | 108 | ||[math( a \times 0 + {\color{blue}0} = a \times 0 = 0)]|| |
| 106 | 109 | |
| 110 | 따라서 [math(a \times 0 =0)]이 성립한다. | |
| 107 | 111 | |
| 112 | === {{{-2 [math((-a) \times (-b) = a \times b \ \text{이다. 곧 })]}}} 두 실수의 곱은 각 실수의 덧셈에 대한 역원 둘의 곱과 같다. === | |
| 113 | (앞의 증명에 사용된 [math(a)], [math(b)]와 이 증명에 사용되는 [math(a)], [math(b)]는 독립이다.) | |
| 108 | 114 | |
| 115 | {{{+1 '''1.'''}}} [math(0)]은 덧셈연산에 대한 [math(a)]의 항등원이면서 덧셈연산에 대한 [math(b))]의 항등원이다. ([[#Axiom 1.4|Axiom 1.4]] 덧셈연산에 대한 항등원) | |
| 116 | ||
| 117 | {{{+1 '''2.'''}}} 또한 [math(a)]에 대하여 [math(-a))]가 존재하고 [math(a+(-a)=0)]을 만족한다. 마찬가지로 [math(b)]에 대하여 덧셈연산의 역원인 [math(-b)]가 존재하고 [math(b+(-b)=0)]이다. ([[#Axiom 1.5|Axiom 1.5]]. 덧셈연산에 대한 항등원 및 역원) | |
| 118 | ||
| 119 | {{{+1 '''3.'''}}} [math(a)]와 [math(b))], [math(-a)], [math(-b)]는 각각 실수이므로 [math(a \times b)]은 실수이며 [math((-a) \times (-b))]은 실수이다. ([[#Axiom 1.6|Axiom 1.6]]. 곱셈연산의 닫힘) | |
| 120 | ||
| 121 | {{{+1 '''4.'''}}} 실수에 [math(0)]을 곱하면 [math(0)]이 되므로 [math({\color{blue}0} \times b = 0)]이다. ([[#Theorem 1.4|Theorem 1.4]]) | |
| 122 | ||
| 123 | {{{+1 '''5.'''}}} '''2.'''에서 실수 [math(a)]에 대하여 [math(a+(-a)={\color{blue}0})]이므로 다음이 성립한다. | |
| 124 | ||[math({\color{blue}0} \times b = (a +(-a)) \times b = 0)]|| | |
| 125 | ||
| 109 | 126 | [[분류:수학]][[분류:더새드위키 수학 프로젝트]] |