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실수체계(비교)

r9 vs r14
......
1111
다음은 실수에 대한 성질을 다루며, 공리로 다루어 시작한다.
1212
(논리체계를 시작으로 하여 [math(1 \in \mathbb{C})], [math(1 \neq 0)]을 공리로 둔 다음 여러 논리체계의 정리를 거쳐 [math(1 \in \mathbb{R})]이 성립함을 [[http://us.metamath.org/mpeuni/1re.html|증명한 곳]](...)도 있다. 여기서 [math(\mathbb{C})]는 모든 [[복소수]]들을 모아놓은 집합이다. 복소수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 실수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 둘 중 하나는 공리로 둘 수 밖에 없다. 단, [[허수]]에 대하여 [math(i \in \mathbb{C})]는 둘 중 어느 방법으로 하든 [[http://us.metamath.org/mpeuni/ax-icn.html|공리]]로 둔다.)
1313
14
또한 집합론에서 두 원소를 두고 "관계"(relation)를 정의하면서 "연산"을 정의하고 시작한다. 이는 (단순 모든 실수의 집합만이 아닌 일반적인 집합에 대한 개념을 다루는 까닭에) 내용이 방대하므로 (고등학교 과정에서는 배우지 않는다.) [[집합(수학)|집합]] 문서의 서술로 남겨두고 여기에는 생략한다.
15
1416
다음은 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질이다.
1517
||모든 실수를 모아놓은 집합 [math(\mathbb{R})]과 임의의 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 다음을 만족한다.
1618
{{{+1 I.}}} [[덧셈]] 연산 "[math(+)]"에 대한 성질
17
1. [math(a+b \in \mathbb{R})] : 덧셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘 즉 [math(\mathbb{R})]의 그 어느 두 원소를 가져와서 해당 연산을 해도 [math(\mathbb{R})]의 원소가 아닌 원소로 되지 않는다.]
18
1. [math({\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a})] : 덧셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
19
1. [math({\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})})] : 덧셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a+b+c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
20
1. [math({\color{red}0} \in \mathbb{R})]이 존재하여
19
1. [anchor(Axiom_1.1)][math(a+b \in \mathbb{R})] : 덧셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘 즉 [math(\mathbb{R})]의 그 어느 두 원소를 가져와서 해당 연산을 해도 [math(\mathbb{R})]의 원소가 아닌 원소로 되지 않는다.]
20
1. [anchor(Axiom_1.2)][math({\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a})] : 덧셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
21
1. [anchor(Axiom_1.3)][math({\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})})] : 덧셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a+b+c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
22
1. [anchor(Axiom_1.4)][math({\color{red}0} \in \mathbb{R})]이 존재하여
2123
[math(a+{\color{red}0}={\color{red}0}+a=a)]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
2224
: 덧셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 항등원'''인 [math({\color{red}0})]이 존재한다.
23
1. [math({\color{green}-a} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
25
1. [anchor(Axiom_1.5)][math({\color{green}-a} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
2426
[math(a+{\color{green}(-a)}={\color{green}(-a)}+a={\color{red}0})]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
2527
: 덧셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 역원'''인 [math({\color{green}-a})]이 존재한다.
2628
2729
{{{+1 II.}}} [[곱셈]] 연산 "[math(•)]"에 대한 성질
28
1.#6 [math(a•b \in \mathbb{R})] : 곱셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘]
29
1. [math({\color{red}a}•{\color{orange}b}={\color{orange}b}•{\color{red}a})] : 곱셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
30
1. [math({\color{blue}(}a•b{\color{blue})}•c=a•{\color{blue}(}b•c{\color{blue})})] : 곱셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a•b•c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
31
1. [math({\color{red}1} \in \mathbb{R})]이 존재하여
30
1.#6 [anchor(Axiom_1.6)][math(a•b \in \mathbb{R})] : 곱셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘]
31
1. [anchor(Axiom_1.7)][math({\color{red}a}•{\color{orange}b}={\color{orange}b}•{\color{red}a})] : 곱셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
32
1. [anchor(Axiom_1.8)][math({\color{blue}(}a•b{\color{blue})}•c=a•{\color{blue}(}b•c{\color{blue})})] : 곱셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a•b•c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
33
1. [anchor(Axiom_1.9)][math({\color{red}1} \in \mathbb{R})]이 존재하여
3234
[math(a•{\color{red}1}={\color{red}1}•a=a)]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
3335
: 곱셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 항등원'''인 [math({\color{red}1})]이 존재한다.
34
1. "[math(0)]이 아닌" [math(a)]에 대하여, [math({\color{green}{\dfrac{1}{a}}} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
36
1. [anchor(Axiom_1.10)]"[math(0)]이 아닌" [math(a)]에 대하여, [math({\color{green}{\dfrac{1}{a}}} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
3537
[math(a•{\color{green}{\dfrac{1}{a}}}={\color{green}{\dfrac{1}{a}}}•a={\color{red}1})]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
3638
: 곱셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 역원'''인 [math({\color{green}{\dfrac{1}{a}}})]이 존재한다.
3739
3840
{{{+1 III.}}} 덧셈 연산과 곱셈 연산에 대한 성질 (분배법칙)
39
1.#11 [math({\color{red}a}{\color{green}•}{\color{blue}(}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{gold}c}{\color{blue})}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
40
1. [math({\color{blue}(}{\color{red}a}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{blue})}{\color{green}•}{\color{gold}c}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
41
1.#11 [anchor(Axiom_1.11)][math({\color{red}a}{\color{green}•}{\color{blue}(}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{gold}c}{\color{blue})}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
42
1. [anchor(Axiom_1.12)][math({\color{blue}(}{\color{red}a}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{blue})}{\color{green}•}{\color{gold}c}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
4143
||
4244
4345
다음은 대소비교에 대한 성질이다.
4446
||{{{+1 IV.}}} 대소비교
45
1.#13 임의의 실수 [math(a)], [math(b)] 에 대하여 다음 셋 중 하나는 반드시 만족한다.
47
1.#13 [anchor(Axiom_1.13)]임의의 실수 [math(a)], [math(b)] 에 대하여 다음 셋 중 하나는 반드시 만족한다.
4648
i. [math(a>b)]
4749
i. [math(a=b)]
4850
i. [math(a<b)]
4951
* 참고
5052
i. [math(a\geq b)] : [math(a>b)] '''또는''' [math(a=b)] 임을 뜻한다. ('''g'''reater than or '''eq'''ual to)
5153
i. [math(a\leq b)] : [math(a<b)] '''또는''' [math(a=b)] 임을 뜻한다. ('''l'''ess than or '''eq'''ual to)
52
i. 복소수체계에서는 일반적으로 대소비교가 불가능하다.||
54
i. [math(a\neq b)] : [math(a=b)]이 아님을 뜻한다. ('''n'''ot '''eq'''ual to) 대소를 비교해야 하는 계산에서는
55
[math(a<b)] 또는 [math(a>b)]가 된다.
56
단, 복소수체계에서는 일반적으로 대소비교가 불가능하다. 자세한 내용은 [[허수]] 참조.||
5357
54
[[분류:수학]]
58
기타 : 위의 13.에서 i.부터 iii.까지 설명의 대상이 되는 부등식들을 호출하려면 각각 {{{math}}}라는 입력 구문 구간(마크업)[* 둘 중 하나로 가능하다.(주석에 개행을 넣을 수 있다.) {{{#!wiki
59
||<width=50.00%> 예시 1 ||<width=50.00%> 예시 2 ||
60
||\{\{\{\#\!wiki[br]\<math\> \\geq \<\/math\>\}\}\}||\[math\(\\geq\)\]||}}}]을 전제하여 {{{\geq}}}, {{{\leq}}}, {{{\neq}}} 구문을 입력해야 한다. 프로그래밍에서 입력 속도를 높이기 위해 단축키를 사용하는 것처럼 축약어로 입력 구문을 정의하는 방식을 많이 채택한다. 위의 칸에 볼드체한 표시는 문구에서 축약된 머릿글자를 의미한다.)
61
62
[각주]
63
== 여러 실수의 성질 증명 ==
64
보기에도 당연해 보이는 것을 왜 증명해야 하는지 생각할 수 있지만, 참인지 거짓인지 명확하지 못하는 전제를 두고 증명을 하는 일은 의미가 없다. 반례가 것이 전혀 없는지도 불확실하기 때문. (이는 다른 정리나 명제를 증명할 때에도 동일하다.) 그래서 참이라고 여기는 것을 시작으로 여러 가지 성질을 증명하는 것이다.
65
66
임의의 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 몇 가지 증명을 해본다.
67
68
=== [math(a \times 0 =0\text{. 곧 })]0을 곱하면 0이 된다. ===
69
{{{+1 '''1.'''}}} 먼저 [math(0 \in \mathbb{R})]이 성립하므로 다음이 성립한다.
70
i. 실수 [math(0)]과 [math({\color{blue}0})]의 덧셈은 실수이다. ([[#Axiom_1.1|덧셈연산의 닫힘]]) 곧 다음이 성립한다.
71
||[math(0{\color{blue}+0} \in \mathbb{R})]||
72
i. 실수 [math(0)]에 대하여 실수 [math({\color{blue}0})]은 덧셈연산에 대한 [[#Axiom_1.4|항등원]]이므로 다음이 성립한다.
73
||[math(0{\color{blue}+0}=0)]||
74
75
{{{+1 '''2.'''}}} [math(1 \in \mathbb{R})]이 성립하므로 다음이 성립한다.
76
i. 덧셈연산에 대한 [math(1)]의 [[#Axiom_1.5|역원]]이 존재하므로 다음이 성립한다.
77
||[math({\color{green}-1} \in \mathbb{R})]이고 [math(1{\color{green}+(-1)}=0)] 이다.||
78
79
{{
80
81
[[분류:수학]][[분류:더새드위키 수학 프로젝트]]