위상수학(비교)

 r14 vs r16
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 [[분류:수학]]
 [목차]
 == 개요 ==
-{{{+3 Topology}}}
+{{{+3 Topology / 位相數學}}}
+위상수학은 공간 또는 도형의 구조와 연속성을 다루는 수학의 한 학문이다.
 == 열린집합과 위상 ==
+위상수학에서 [[실수체계]]에서 열린구간들로 확인할 수 있는 실수 집합의 각 원소들 사이의 관계와 실수체계의 구조를 보고, 이를 이용하여 실수 전체의 집합만이 아닌 일반적인 집합의 구조를 볼 수 있다.  이런 계산의 기초가 되는 위상과 위상의 요소 중 하나인 열린집합에 대해 먼저 서술한다.
 === 실수체계의 위상 ===
 ==== 내점 ====
 [math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(A)]가 있다고 하자. 이 때 [math(A)]의 원소(한 지점)인 [math(p)]에 대하여 적당한 양{{{#gray 의 상}}}수 [math(c)]가 있어 [math(\left\{x | a-c<x<a+c\right\} \subset A)]를 만족한다면, [math(p)]는 [math(A)]의 '''내점'''(interior point)이라 부른다.
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 당연하게 보이겠지만 [math(\mathbb{R})] 역시 열린집합이다.
-공집합([math(\emptyset)])은 원소도 없는 집합이면서도 __내점이 없는 집합__이다. {{{#gray 공집합의 내점을 모두 모은 집합이 공집합 자기자신이다.)}}} 공집합은 따라서 열린집합이다.
+공집합([math(\emptyset)])은 원소도 없는 집합이면서도 __내점이 없는 집합__이다. {{{#gray (공집합의 내점을 모두 모은 집합이 공집합 자기자신이다.)}}} 공집합은 따라서 열린집합이다.
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 {{{+1
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 || [math(p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{1} \\ p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{2})] ||
 곧 [math(p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{1} \cap O_{2})]이며, 이는 곧 [math(p)]가 [math(O_{1} \cap O_{2})]의 내점이 됨을 보이는 것이다.
 같은 방법으로 유한개의 열린집합의 교집합 곧 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(\overset{k \leq n}{\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}}O_{k})]은 열린집합이 됨을 보일 수 있다.
+일반적으로 무한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이 되지 않는다.  이를테면 [math(\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}\left(-1,\ \dfrac{1}{k}\right))]가 있다.  이 집합을 [math(A)]라고 하면 [math(0)]은 [math(A)]의 원소이나, 0보다 큰 모든 수는 [math(A)]의 원소가 아니다. {{{#gray (이는 아르키메데스의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.)}}} [math(A)]에서 [math(0 \in \left(0-c,\ 0+c\right) \subset A)]를 만족할 양의 상수 [math(c)]가 존재하지 않으므로 [math(0)]은 [math(A)]의 내점이 아니며 따라서 {{{#gray [math(A)]의 원소 중 내점이 아닌 원소가 존재하기 때문에}}} [math(A)]는 열린집합이 아니다.
 === 위상공간 ===
 열린집합의 성질을 --퍼가요~♡-- 따와서 일정 규칙을 만족하도록 한다.