| r14 vs r19 | ||
|---|---|---|
| ... | ... | |
| 3 | 3 | [[분류:수학]] |
| 4 | 4 | [목차] |
| 5 | 5 | == 개요 == |
| 6 | {{{+3 Topology}}} | |
| 6 | {{{+3 Topology / 位相數學}}} | |
| 7 | 위상수학은 공간 또는 도형의 구조와 연속성을 다루는 수학의 한 학문이다. | |
| 7 | 8 | == 열린집합과 위상 == |
| 9 | 위상수학에서는 [[실수체계]]에서 열린구간들로 확인할 수 있는 실수 집합의 각 원소들 사이의 관계와 실수체계의 구조를 보고, 이를 이용하여 실수 전체의 집합만이 아닌 일반적인 집합의 구조를 볼 수 있다. 이것을 확인하는 계산의 기초로서 위상 및 위상의 한 요소인 열린집합의 설명을 먼저 서술한다. | |
| 8 | 10 | === 실수체계의 위상 === |
| 9 | 11 | ==== 내점 ==== |
| 10 | [math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(A)]가 있다고 하자. 이 때 [math(A)]의 원소(한 지점)인 [math(p)]에 대하여 적당한 양{{{#gray 의 상}}}수 [math(c)]가 있어 [math(\left\{x | a-c<x<a+c\right\} \subset A)]를 만족한다면, [math(p)]는 [math(A)]의 '''내점'''(interior point)이라 부른다. | |
| 12 | > [math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(A)]가 있다고 하자. | |
| 13 | > 이 때 [math(A)]의 원소(한 지점)인 [math(p)]에 대하여 적당한 양{{{#gray 의 상}}}수 [math(c)]가 있어 [math(\left\{x | a-c<x<a+c\right\} \subset A)]를 만족한다면, [math(p)]는 [math(A)]의 '''내점'''(interior point)이라 부른다. | |
| 11 | 14 | |
| 15 | 어떤 (부분)집합의 원소 [math(p)]가 내점임을 보이러면 적당한 [math(c)]가 존재하고 상기 조건을 만족함을 보이는 것으로 충분하다. | |
| 12 | 16 | ==== 열린집합 ==== |
| 13 | 17 | {{{+1 |
| 14 | 18 | * 열린집합의 정의}}}정의(definition)에는 앞서 보았던 내점(interior point)이 이용된다. 열린집합은 "개폐"할 때의 '개'를 써서 "개집합"이라고도 부른다. |
| ... | ... | |
| 24 | 28 | |
| 25 | 29 | 당연하게 보이겠지만 [math(\mathbb{R})] 역시 열린집합이다. |
| 26 | 30 | |
| 27 | 공집합([math(\emptyset)])은 원소도 없는 집합이면서도 __내점이 없는 집합__이다. {{{#gray 공집합의 내점을 모두 모은 집합이 공집합 자기자신이다.)}}} 공집합은 따라서 열린집합이다. | |
| 31 | 공집합([math(\emptyset)])은 원소도 없는 집합이면서도 __내점이 없는 집합__이다. {{{#gray (공집합의 내점을 모두 모은 집합이 공집합 자기자신이다.)}}} 공집합은 따라서 열린집합이다. | |
| 28 | 32 | |
| 29 | 33 | ------- |
| 30 | 34 | {{{+1 |
| ... | ... | |
| 46 | 50 | || [math(p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{1} \\ p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{2})] || |
| 47 | 51 | 곧 [math(p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{1} \cap O_{2})]이며, 이는 곧 [math(p)]가 [math(O_{1} \cap O_{2})]의 내점이 됨을 보이는 것이다. |
| 48 | 52 | 같은 방법으로 유한개의 열린집합의 교집합 곧 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(\overset{k \leq n}{\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}}O_{k})]은 열린집합이 됨을 보일 수 있다. |
| 53 | ||
| 54 | 일반적으로 무한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이 되지 않는다. 이를테면 [math(\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}\left(-1,\ \dfrac{1}{k}\right))]가 있다. 이 집합을 [math(A)]라고 하면 [math(0)]은 [math(A)]의 원소이나, 0보다 큰 모든 수는 [math(A)]의 원소가 아니다. {{{#gray (이는 아르키메데스의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.)}}} [math(A)]에서 [math(0 \in \left(0-c,\ 0+c\right) \subset A)]를 만족할 양의 상수 [math(c)]가 존재하지 않으므로 [math(0)]은 [math(A)]의 내점이 아니며 따라서 {{{#gray [math(A)]의 원소 중 내점이 아닌 원소가 존재하기 때문에}}} [math(A)]는 열린집합이 아니다. | |
| 49 | 55 | === 위상공간 === |
| 50 | 56 | 열린집합의 성질을 --퍼가요~♡-- 따와서 일정 규칙을 만족하도록 한다. |
| 51 | 57 |