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| 1 | 1 | ##앵커 설정 목록 |
| 2 | ##"열린집합의 정의", "열린집합의 성질" | |
| 2 | ##"내점의 정의", "열린집합의 정의", "열린집합의 성질" | |
| 3 | 3 | [[분류:수학]] |
| 4 | 4 | [목차] |
| 5 | 5 | == 개요 == |
| 6 | 6 | {{{+3 Topology / 位相數學}}} |
| 7 | 7 | 위상수학은 공간 또는 도형의 구조와 연속성을 다루는 수학의 한 학문이다. |
| 8 | 8 | == 열린집합과 위상 == |
| 9 | 위상수학에서 [[실수체계]]에서 열린구간들로 확인할 수 있는 실수 집합의 각 원소들 사이의 관계와 실수체계의 구조를 보고, 이를 이용하여 실수 전체의 집합만이 아닌 일반적인 집합의 구조를 볼 수 있다. 이 | |
| 9 | 위상수학에서는 [[실수체계]]에서 열린구간들로 확인할 수 있는 실수 집합의 각 원소들 사이의 관계와 실수체계의 구조를 보고, 이를 이용하여 실수 전체의 집합만이 아닌 일반적인 집합의 구조를 볼 수 있다. 이것을 확인하는 계산의 기초로서 위상 및 위상의 한 요소인 열린집합의 설명을 먼저 서술한다. | |
| 10 | 10 | === 실수체계의 위상 === |
| 11 | 11 | ==== 내점 ==== |
| 12 | [math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(A)]가 있다고 하자. 이 때 [math(A)]의 원소(한 지점)인 [math(p)]에 대하여 적당한 양{{{#gray 의 상}}}수 [math(c)]가 있어 [math(\left\{x | a-c<x<a+c\right\} \subset A)]를 만족한다면, [math(p)]는 [math(A)]의 '''내점'''(interior point)이라 부른다. | |
| 12 | >내점 (Interior point) | |
| 13 | >------- | |
| 14 | > [math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(A)]가 있다고 하자. | |
| 15 | > 이 때 [math(A)]의 원소(한 지점)인 [math(p)]에 대하여 적당한 양{{{#gray 의 상}}}수 [math(c)]가 있어 [math(\left\{x | a-c<x<a+c\right\} \subset A)]를 만족한다면, [math(p)]는 [math(A)]의 '''내점'''(interior point)이라 부른다. | |
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| 17 | 집합이 있어야 내점을 논할 수 있다. 그리고 어떤 (부분)집합의 원소 [math(p)]가 내점임을 보이려면 적당한 [math(c)]가 존재하고 상기 조건을 만족함을 보이는 것으로 충분하다. | |
| 14 | 18 | ==== 열린집합 ==== |
| 15 | 19 | {{{+1 |
| 16 | 20 | * 열린집합의 정의}}}정의(definition)에는 앞서 보았던 내점(interior point)이 이용된다. 열린집합은 "개폐"할 때의 '개'를 써서 "개집합"이라고도 부른다. |
| ... | ... | |
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| 52 | 56 | 일반적으로 무한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이 되지 않는다. 이를테면 [math(\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}\left(-1,\ \dfrac{1}{k}\right))]가 있다. 이 집합을 [math(A)]라고 하면 [math(0)]은 [math(A)]의 원소이나, 0보다 큰 모든 수는 [math(A)]의 원소가 아니다. {{{#gray (이는 아르키메데스의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.)}}} [math(A)]에서 [math(0 \in \left(0-c,\ 0+c\right) \subset A)]를 만족할 양의 상수 [math(c)]가 존재하지 않으므로 [math(0)]은 [math(A)]의 내점이 아니며 따라서 {{{#gray [math(A)]의 원소 중 내점이 아닌 원소가 존재하기 때문에}}} [math(A)]는 열린집합이 아니다. |
| 53 | 57 | === 위상공간 === |
| 54 | 열린집합의 성질을 --퍼가요~♡-- 따와서 일정 규칙을 만족하 | |
| 58 | 실수체계의 모든 열린집합들은 [math(\mathbb{R})]의 부분집합이다. 이것 그리고 열린집합의 성질을 --퍼가요~♡-- 따와서 일반적인 집합으로 다루는 범위를 넓힌다. 집합의 부분집합들을 가져와서 상기 열린집합의 성질을 포함한 일정 규칙을 만족하는 구조(집합)를 정하고 그런 구조의 요소(원소)를 열린집합으로 둔다. | |
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