위상수학(비교)

 r17 vs r22
 ##앵커 설정 목록
-##"열린집합의 정의", "열린집합의 성질"
+##"내점의 정의", "열린집합의 정의", "열린집합의 성질"
 [[분류:수학]]
 [목차]
 == 개요 ==
 ...
 위상수학에서는 [[실수체계]]에서 열린구간들로 확인할 수 있는 실수 집합의 각 원소들 사이의 관계와 실수체계의 구조를 보고, 이를 이용하여 실수 전체의 집합만이 아닌 일반적인 집합의 구조를 볼 수 있다.  이것을 확인하는 계산의 기초로서 위상 및 위상의 한 요소인 열린집합의 설명을 먼저 서술한다.
 === 실수체계의 위상 ===
 ==== 내점 ====
-[math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(A)]가 있다고 하자. 이 때 [math(A)]의 원소(한 지점)인 [math(p)]에 대하여 적당한 양{{{#gray 의 상}}}수 [math(c)]가 있어 [math(\left\{x | a-c<x<a+c\right\} \subset A)]를 만족한다면, [math(p)]는 [math(A)]의 '''내점'''(interior point)이라 부른다.
+>내점 (Interior point)
+>-------
+> [math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(A)]가 있다고 하자.
+> 이 때 [math(A)]의 원소(한 지점)인 [math(p)]에 대하여 적당한 양{{{#gray 의 상}}}수 [math(c)]가 있어 [math(\left\{x | a-c<x<a+c\right\} \subset A)]를 만족한다면, [math(p)]는 [math(A)]의 '''내점'''(interior point)이라 부른다.
+집합이 있어야 내점을 논할 수 있다.  그리고 어떤 (부분)집합의 원소 [math(p)]가 내점임을 보이려면 적당한 [math(c)]가 존재하고 상기 조건을 만족함을 보이는 것으로 충분하다.
 ==== 열린집합 ====
 {{{+1
  * 열린집합의 정의}}}정의(definition)에는 앞서 보았던 내점(interior point)이 이용된다.  열린집합은 "개폐"할 때의 '개'를 써서 "개집합"이라고도 부른다.
 ...
 일반적으로 무한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이 되지 않는다.  이를테면 [math(\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}\left(-1,\ \dfrac{1}{k}\right))]가 있다.  이 집합을 [math(A)]라고 하면 [math(0)]은 [math(A)]의 원소이나, 0보다 큰 모든 수는 [math(A)]의 원소가 아니다. {{{#gray (이는 아르키메데스의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.)}}} [math(A)]에서 [math(0 \in \left(0-c,\ 0+c\right) \subset A)]를 만족할 양의 상수 [math(c)]가 존재하지 않으므로 [math(0)]은 [math(A)]의 내점이 아니며 따라서 {{{#gray [math(A)]의 원소 중 내점이 아닌 원소가 존재하기 때문에}}} [math(A)]는 열린집합이 아니다.
 === 위상공간 ===
-열린집합의 성질을 --퍼가요~♡-- 따와서 일정 규칙을 만족하도록 한다.
+실수체계의 모든 열린집합들은 [math(\mathbb{R})]의 부분집합이다.  이것 그리고 열린집합의 성질을 --퍼가요~♡-- 따와서 일반적인 집합으로 다루는 범위를 넓힌다.  {{{#gray 미지수나 변수를 흔히 [math(x)], [math(y)]로 적는 것처럼}}} 다룰 집합을 [math(X)], [math(Y)] 등으로 적는다.
+집합 [math(X)]가 있으면 {{{#gray 집합 [math(X)]의 모든 부분집합들을 원소로 가지는 집합인}}} 멱집합 [math(\mathcal{P}\left(X\right))]이 있는데, 몇 열린집합의 성질을 포함한 일정 규칙을 만족하도록 해당 멱집합의 부분집합을 일종의 구조(집합)로서 가져오고, 그런 구조(집합)의 요소(원소)를 열린집합으로 둔다. (당연히 구조가 다르면 그 구성요소도 다르다.) 여기에서 실수체계의 열린집합과 비교해볼 수 있다.