| r20 vs r23 | ||
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| 56 | 56 | 일반적으로 무한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이 되지 않는다. 이를테면 [math(\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}\left(-1,\ \dfrac{1}{k}\right))]가 있다. 이 집합을 [math(A)]라고 하면 [math(0)]은 [math(A)]의 원소이나, 0보다 큰 모든 수는 [math(A)]의 원소가 아니다. {{{#gray (이는 아르키메데스의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.)}}} [math(A)]에서 [math(0 \in \left(0-c,\ 0+c\right) \subset A)]를 만족할 양의 상수 [math(c)]가 존재하지 않으므로 [math(0)]은 [math(A)]의 내점이 아니며 따라서 {{{#gray [math(A)]의 원소 중 내점이 아닌 원소가 존재하기 때문에}}} [math(A)]는 열린집합이 아니다. |
| 57 | 57 | === 위상공간 === |
| 58 | 실수체계의 모든 열린집합들은 [math(\mathbb | |
| 58 | 실수체계의 모든 열린집합들은 [math(\mathbb{R})]의 부분집합이다. 이것 그리고 열린집합의 성질을 --퍼가요~♡-- 따와서 일반적인 집합으로 다루는 범위를 넓힌다. {{{#gray 미지수나 변수를 흔히 [math(x)], [math(y)]로 적는 것처럼}}} 다룰 집합을 [math(X)], [math(Y)] 등으로 적는다. | |
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| 60 | 집합 [math(X)]가 있으면 {{{#gray 집합 [math(X)]의 모든 부분집합들을 원소로 가지는 집합인}}} 멱집합 [math(\mathcal{P}\left(X\right))]이 있는데, 몇 열린집합의 성질을 포함한 일정 규칙을 만족하도록 해당 멱집합의 부분집합을 일종의 구조(집합)로서 가져오고, 그런 구조(집합)의 요소(원소)를 열린집합으로 둔다. (당연히 구조가 다르면 그 구성요소도 다르다.) 여기에서 상기의 실수체계의 열린집합과 비교해볼 수 있다. | |
| 61 | || 실수집합 (비교할 대상) || 일반적인 집합 || | |
| 62 | ||실수집합 [math(\mathbb{R})]과 그 멱집합 [math(\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right))]||집합 [math(X)]와 그 멱집합 [math(\mathcal{P}\left(X\right))]|| | |
| 63 | ||{{{#!wiki | |
| 64 | [math(\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right))]의 부분집합 [math(\mathcal{U})]가 존재하여 다음을 만족한다. | |
| 65 | 1. [math(\emptyset,\ \mathbb{R} \in \mathcal{U})]}}}||{{{#!wiki | |
| 66 | [math(\mathcal{P}\left(X\right))]의 부분집합 [math(T)]가 존재하여 다음을 만족한다. | |
| 67 | 1. [math(\emptyset,\ X \in T)]}}}|| |