| r29 vs r31 | ||
|---|---|---|
| 1 | ''' | |
| 1 | ##앵커 설정 목록 | |
| 2 | ##"내점의 정의", "열린집합의 정의", "열린집합의 성질" | |
| 3 | [[분류:수학]] | |
| 4 | [목차] | |
| 5 | == 개요 == | |
| 6 | {{{+3 Topology / 位相數學}}} | |
| 7 | 위상수학은 공간 또는 도형의 구조와 연속성을 다루는 수학의 한 학문이다. | |
| 8 | == 열린집합과 위상 == | |
| 9 | 위상수학에서는 [[실수체계]]에서 열린구간들로 확인할 수 있는 실수 집합의 각 원소들 사이의 관계와 실수체계의 구조를 보고, 이를 이용하여 실수 전체의 집합만이 아닌 일반적인 집합의 구조를 볼 수 있다. 이것을 확인하는 계산의 기초로서 위상 및 위상의 한 요소인 열린집합의 설명을 먼저 서술한다. | |
| 10 | === 실수체계의 위상 === | |
| 11 | ==== 내점 ==== | |
| 12 | >[anchor(내점의 정의)]내점 (Interior point) | |
| 13 | >------- | |
| 14 | > [math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(A)]가 있다고 하자. | |
| 15 | > 이 때 [math(A)]의 원소(한 지점)인 [math(p)]에 대하여 적당한 양{{{#gray 의 상}}}수 [math(c)]가 있어 [math(\left\{x | a-c<x<a+c\right\} \subset A)]를 만족한다면, [math(p)]는 [math(A)]의 '''내점'''(interior point)이라 부른다. | |
| 16 | {{{#gray [math(p)]는 점을 뜻하는 단어인 " '''p'''oint"에서, [math(c)]는 상수를 뜻하는 단어인 "'''c'''onstant"의 앞글자를 가져왔다.}}} | |
| 17 | ||
| 18 | 집합이 있어야 내점을 논할 수 있다. 그리고 어떤 (부분)집합의 원소 [math(p)]가 내점임을 보이려면 적당한 [math(c)]가 존재하고 상기 조건을 만족함을 보이는 것으로 충분하다. | |
| 19 | ==== 열린집합 ==== | |
| 20 | {{{+1 | |
| 21 | * 열린집합의 정의}}}정의(definition)에는 앞서 보았던 내점(interior point)이 이용된다. 열린집합은 "개폐"할 때의 '개'를 써서 "개집합"이라고도 부른다. | |
| 22 | >[anchor(열린집합의 정의)]열린집합(Open Set) | |
| 23 | >------- | |
| 24 | >[math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(A)]가 있고 [math(A)]의 모든 원소(지점)이 [math(A)]의 내점이 된다면, [math(A)]는 '''열린집합'''(open set)이라 부른다. | |
| 25 | ||
| 26 | 열린집합의 흔히(?) 잘 아는 예시로는 열린구간이 있다. {{{#gray (열린구간에 포함되는 열린구간이 있다.)}}} | |
| 27 | 열린구간은 {{{#gray 집합으로서}}} 실수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(\left( {\color{blue}a},\ {\color{green}b} \right) = \left\{x|{\color{blue}a}<x<{\color{green}b}\right\})]으로 표기한다. | |
| 28 | 이 집합의 임의의 원소(지점)인 [math(p)]를 가져온다고 하면 {{{#gray [math({\color{blue}a}<p<{\color{green}b})]가 되는데}}} 양수 [math(c)]를 다음으로 둔다고 하자. | |
| 29 | ||[math(c=\min \left\{ \left|p-a\right|,\ \left|p-b\right|\right\})] 곧[br][math(c=\min \left\{ p-a,\ b-p\right\})][br]{{{#gray [math(\min)]은 minimum을 뜻하는데, \{ \} 괄호 안의 2개 이상의 값들 중 가장 작은 값을 고르는 연산이다.}}}|| | |
| 30 | 이렇게 되면 [math(\left(p-c,\ p+c\right) \subset \left( {\color{blue}a},\ {\color{green}b} \right))]를 만족하게 되고, 곧 집합 [math(\left( {\color{blue}a},\ {\color{green}b} \right))]의 모든 점이 내점임을 보이는 것이다. | |
| 31 | ||
| 32 | 당연하게 보이겠지만 [math(\mathbb{R})] 역시 열린집합이다. | |
| 33 | ||
| 34 | 공집합([math(\emptyset)])은 원소도 없는 집합이면서도 __내점이 없는 집합__이다. {{{#gray (공집합의 내점을 모두 모은 집합이 공집합 자기자신이다.)}}} 공집합은 따라서 열린집합이다. | |
| 35 | ||
| 36 | ------- | |
| 37 | {{{+1 | |
| 38 | * 열린집합의 성질}}}열린집합의 성질은 다음을 만족한다. | |
| 39 | >[anchor(열린집합의 성질)]열린집합의 성질 | |
| 40 | >------- | |
| 41 | >자연수 [math(i)][*색인 {{{#!wiki | |
| 42 | "색인"이라는 뜻의 단어 index의 앞글자인 i를 가져와서 표기한다. 추려내는 대상들의 각각에 색인(또는 라벨)을 매기는 방법은 [math(\mathbb{R})]의 각 원소로 매기는 등 여러 가지가 있다. 엄밀히 말하면 모든 실수를 모아놓은 집합인 [math(\mathbb{R})]의 원소의 수는 모든 자연수를 모아놓은 집합인 [math(\mathbb{N})]보다 더 많아서 색인은 [math(\mathbb{N})]보다 더 많이 나올 수 있다.{{{#gray (자세한 설명은 실수체계의 [[실수체계#가산집합|가산집합]] 부분을 참조.)}}} 그래서 [math(i)]의 범위를 자연수로 두기에는 갯수가 모자라지만, 여기서는 색인을 순번 매기기처럼 이해할 수 있도록 색인을 다룬다. | |
| 43 | {{{#gray i 하면 허수 단위 [math(i)]를 떠올릴 수 있겠지만, 무작정 이렇게 알기보다는 어느 수식을 읽는다 해도 먼저 각 알파벳을 포함한 기호들이 무슨 의미로 쓰이는지를 파악하면서 읽는 것이 좋다.}}}}}}] 와 임의의 열린집합 [math(O_{1})], [math(O_{2})], [math(O_{3})] ... [math(O_{i})] ... 에 대하여 | |
| 44 | > 1. 여러 개 또는 무한 개의 [math(O_{i})]들의 합집합은 열린집합이다. | |
| 45 | > 1. [math(O_{1} \cap O_{2})] 곧 두 열린집합의 교집합 (내지 유한 개의 열린집합들의 교집합)은 열린집합이다. | |
| 46 | {{{#gray [math(O_{1})], [math(O_{2})] 등등은 "'''o'''pen set"의 앞글자를 따왔다.}}} | |
| 47 | ||
| 48 | 먼저 '''1.'''의 집합은 (일정 조건을 만족하는 [math(\Sigma)][* 흔히 [math(\Sigma)] 기준으로 밑첨자에는 [math(k=1)]을 적어놓고 윗첨자에는 [math(n)]을 적어놓고 오른쪽에는 [math(k)]에 대한 함수 같은 식을 적어놓은 식을 읽고는, [math(k)]가 1인 경우의 값부터 2인 경우의 값, ... , [math(n)]인 경우의 값까지를 모두 합한 값으로 읽는데, 계산할 변수들과 해당 조건의 나열만 (집합처럼) 명확히 알 수 있게 적어놓는 방식으로 조건에 따라 변수를 대입한 각 경우의 값들의 합으로 볼 수 있다. 무한등비급수를 예로 들자면 자연수 전체의 집합을 나타내는 [math(\mathbb{N})]을 이용하여 [math({\underset{k \in \mathbb{N}}{\sum}a_{k}})]처럼 [math(k \in \mathbb{N})]만 [math(\Sigma)]의 밑에 적어만 두어도 위에 굳이 [math(\infty)]를 쓸 필요가 없이 {{{#gray 1부터 모든 자연수를 가리킨다는 의미가 되어}}} 충분하다.]의 의미를 안다면 이와 비슷하게 합집합으로도 나타낼 수 있다. 색인(번호[*색인])을 모아놓은 집합을 [math(I)]라 두면, [math(\underset{i \in I}{\bigcup}O_{i})]으로 나타낼 수 있다.) 보면 그 어느 원소(지점)인 [math(p)]를 잡으면, 반드시 어떤 [math(i)]가 있어 한 열린집합인 [math(O_{i})]의 내점이 되면서 적당한 양수 [math(c)]가 있어 [math(\left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{i})]가 된다. 합집합의 특성상 '''1.'''의 집합은 [math(O_{i})]을 부분집합으로 가진다. 이에 따라 당연히 [math(\left(p-c,\ p+c\right))] 을 부분집합으로 가진다. | |
| 49 | ||
| 50 | '''2.'''의 집합 [math(O_{1} \cap O_{2})]가 공집합이 되는 경우와 그렇지 않은 경우를 보자. | |
| 51 | [math(O_{1} \cap O_{2})]가 공집합이 된다면 공집합은 열린집합이므로 [math(O_{1} \cap O_{2})]은 열린집합이다. | |
| 52 | 이제 [math(O_{1} \cap O_{2})]가 공집합이 되지 않는 경우를 보자. 이 경우에 [math(O_{1} \cap O_{2})]는 어떤 원소(지점)을 가진다. [math(O_{1} \cap O_{2})]의 원소(지점) 중 아무 원소(지점)인 [math(p)]를 가져온다고 하자. 그러면 {{{#gray 교집합의 성질에 따라서}}} [math(p \in O_{1})]과 [math(p \in O_{2})]를 만족한다. | |
| 53 | [math(O_{1})]과 [math(O_{2})]는 열린집합이므로 [math(p)]는 [math(O_{1})]의 내점이면서 [math(O_{2})]의 내점이다. 따라서 적당한 양의 상수 [math(c_{1})], [math(c_{2})]에 대하여 다음을 만족한다. | |
| 54 | || [math(p \in \left(p-c_{1},\ p+c_{1}\right) \subset O_{1} \\ p \in \left(p-c_{2},\ p+c_{2}\right) \subset O_{2})] || | |
| 55 | 이 때 [math(c=\min \left\{c_{1},\ c_{2}\right\})]으로 두면 다음을 만족한다. | |
| 56 | || [math(p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{1} \\ p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{2})] || | |
| 57 | 곧 [math(p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{1} \cap O_{2})]이며, 이는 곧 [math(p)]가 [math(O_{1} \cap O_{2})]의 내점이 됨을 보이는 것이다. | |
| 58 | 같은 방법으로 유한개의 열린집합의 교집합 곧 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(\overset{k \leq n}{\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}}O_{k})]은 열린집합이 됨을 보일 수 있다. | |
| 59 | ||
| 60 | 일반적으로 무한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이 되지 않는다. 이를테면 [math(\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}\left(-1,\ \dfrac{1}{k}\right))]가 있다. 이 집합을 [math(A)]라고 하면 [math(0)]은 [math(A)]의 원소이나, 0보다 큰 모든 수는 [math(A)]의 원소가 아니다. {{{#gray (이는 아르키메데스의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.)}}} [math(A)]에서 [math(0 \in \left(0-c,\ 0+c\right) \subset A)]를 만족할 양의 상수 [math(c)]가 존재하지 않으므로 [math(0)]은 [math(A)]의 내점이 아니며 따라서 {{{#gray [math(A)]의 원소 중 내점이 아닌 원소가 존재하기 때문에}}} [math(A)]는 열린집합이 아니다. | |
| 61 | === 위상공간 === | |
| 62 | 실수체계의 모든 열린집합들은 [math(\mathbb{R})]의 부분집합이다. 이것 그리고 열린집합의 성질을 --퍼가요~♡-- 따와서 일반적인 집합으로 다루는 범위를 넓힌다. {{{#gray 미지수나 변수를 흔히 [math(x)], [math(y)]로 적는 것처럼}}} 다룰 집합을 [math(X)], [math(Y)] 등으로 적는다. | |
| 63 | ||
| 64 | 실수체계에서 집합의 내점을 먼저 정의한 다음 열린집합을 정의하고 열린집합의 성질을 찾고 그런 열린집합을 모아놓은 멱집합의 부분집합을 찾는다면, 일반적인 집합으로 넘어가서는 이 순서를 반대로 하여 열린집합의 성질(과 같은 일정 규칙)을 만족하는 멱집합의 부분집합을 찾은 다음 열린집합을 정의하고, 집합의 내점을 정의하게 된다. | |
| 65 | ==== 위상과 열린집합 ==== | |
| 66 | 앞에 다루었던 실수체계에서 열린집합은 원소(지점)이 해당되는 [[#내점의 정의|내점의 정의]]에 따른 내점이다. 이런 모든 열린집합들로 구성된 구조는 실수체계의 통상적인 구조이다. 이러한 열린집합을 모두 모아놓은 집합은 [math(\mathbb{R})]의 멱집합{{{#gray (power set, 모든 부분집합들을 원소로 가지는 집합)}}} 곧 [math(\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right))]의 부분집합이며 단어 "usual{{{#gray (통상적인)}}}"의 앞글자를 따서 [math(U)]로 둔다. [math(U)]는 다음과 같다. {{{#gray [math(\mathcal{P})]는 [math(P)]의 흘림체이다. 그리고 [math(U)]는 U의 흘림체인 [math(\mathcal{U})]로 표기하는 경우가 많은데, 여기에는 [math(U)]로 표시 해둔다.[* 사실 22년 9월 19일 기준 underset 범위 안에서 아래첨자 범위 안에 mathcal 구문을 입력할 경우 표시가 나오지 않고 구문이 깨지는 오류가 있다. 아래 비교표 구문의 {{{ i \in I_{U} }}}를 {{{ i \in I_{\mathcal{U}} }}}으로 바꿔보자.]}}} | |
| 67 | ||[math(U=\left\{S \in \mathbb{R}\ |\ \forall p \in S,\ \exists c_{p}>0\ \text{such that}\ \left(p-c_{p},\ p+c_{p}\right)\subset S\right\})]|| | |
| 68 | ||
| 69 | 이제 일반적인 집합의 경우를 보자. 집합 [math(X)]가 있으면 집합 [math(X)]의 멱집합인 [math(\mathcal{P}\left(X\right))]가 있다. 앞에 다루었던 실수체계의 열린집합의 성질처럼, 모종의 일정한 규칙들을 만족하는 멱집합 [math(\mathcal{P}\left(X\right))]의 부분집합을 일종의 구조(집합)로서 가져올 수 있고, 그런 구조(집합)의 구성요소(원소)를 열린집합으로 둔다. (당연히 구조가 다르면 그 구성요소도 다르다.) | |
| 70 | ||
| 71 | 다음의 표로 비교할 수 있다. | |
| 72 | || 실수집합 (비교할 대상) || 일반적인 집합 || | |
| 73 | ||실수집합 [math(\mathbb{R})]과 그 멱집합 [math(\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right))]||집합 [math(X)]와 그 멱집합 [math(\mathcal{P}\left(X\right))]|| | |
| 74 | ||{{{#!wiki | |
| 75 | [math(\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right))]의 부분집합 [math(U)]이 존재하여 다음을 모두 만족한다. | |
| 76 | 1. [math(\emptyset,\ \mathbb{R} \in U)] | |
| 77 | 1. 임의의 색인 집합 [math(I_{U})]에 대하여 [math(i \in I_{U})], [math(O_{i} \in U)]이면 [math(\underset{i \in I_{U}}{\bigcup}O_{i} \in U)] 이다. {{{#gray 곧 여러 개 또는 무한 개의 열린집합들의 합집합은 열린집합이다.}}} | |
| 78 | 1. 자연수 [math(n)], [math(k)]에 대하여 [math(O_{k} \in U)]이면 [math(\overset{k \leq n}{\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}}O_{k} \in U)]이다. {{{#gray 곧 유한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이다.}}} | |
| 79 | }}}||{{{#!wiki | |
| 80 | [math(\mathcal{P}\left(X\right))]의 부분집합 [math(T)]가 존재하여 다음을 모두 만족한다. | |
| 81 | 1. [math(\emptyset,\ X \in T)] | |
| 82 | 1. 임의의 색인 집합 [math(I_{T})]에 대하여 [math(i \in I_{T})], [math(O_{i} \in T)]이면 [math(\underset{i \in I_{T}}{\bigcup}O_{i} \in T)] 이다. {{{#gray 곧 [math(T)]의 여러 개 또는 무한 개의 원소들의 합집합은 해당 집합 [math(T)]의 원소이다.}}} | |
| 83 | 1. 자연수 [math(n)], [math(k)]에 대하여 [math(O_{k} \in T)]이면 [math(\overset{k \leq n}{\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}}O_{k} \in T)]이다. {{{#gray 곧 [math(T)]의 유한 개의 원소들의 교집합은 [math(T)]의 원소이다.}}} | |
| 84 | }}}|| | |
| 85 | ||
| 86 | 여기서 [math(T)]가 존재한다면 이를 '''집합 [math(X)]의 위상'''(Topology)이라고 부른다. {{{#gray 머리글자를 따서 집합을 [math(T)]로 표기하며, 경우에 따라 서로 다른 집합의 위상임을 나타내고자 경우 [math(T_{X})], [math(T_{Y})]처럼 T의 오른쪽 밑에 각 위상의 근원을 표기할 수 있다.}}} 존재할 수 있는 [math(T)]를 찾아보면 간단히 --원소가 딸랑 2개만 있는-- [math(\left\{ \emptyset ,\ X \right\})]부터 여러 가지가 나올 수 있다. | |
| 87 | ||
| 88 | 집합 [math(X)] 그리고 [math(X)]의 위상인 [math(T)]가 있을 때, [math(T)]의 원소를 '''열린집합'''(open set)이라고 부른다. | |
| 89 | ||
| 90 | 집합 [math(X)]가 유한집합{{{#gray (원소가 유한 개인 집합)}}}인 경우에도 위상을 말할 수 있다. | |
| 91 | 가령 [math(X=\left\{1\right\})]일 경우 [math(T=\left\{ \emptyset,\ \left\{ 1 \right\} \right\})]는 [math(X)]의 위상이다. | |
| 92 | ||
| 93 | 집합 [math(X)]가 실수집합 [math(\mathbb{R})]인 경우, 규칙만 만족한다면 실수집합에서 새로운 위상 [math(T)]를 찾을 수 있다. 앞의 [math(U)]는 [math(\mathbb{R})]의 위상인데, 여러 다른 위상들과 비교하고자 [math(U)]를 '''{{{#gray ([math(\mathbb{R})]의)}}} 보통위상'''(usual topology)이라 부른다. |