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위상수학(비교)

r30 vs r31
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실수체계에서 집합의 내점을 먼저 정의한 다음 열린집합을 정의하고 열린집합의 성질을 찾고 그런 열린집합을 모아놓은 멱집합의 부분집합을 찾는다면, 일반적인 집합으로 넘어가서는 이 순서를 반대로 하여 열린집합의 성질(과 같은 일정 규칙)을 만족하는 멱집합의 부분집합을 찾은 다음 열린집합을 정의하고, 집합의 내점을 정의하게 된다.
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==== 위상과 열린집합 ====
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앞에 다루었던 실수체계에서 열린집합은 원소(지점)이 해당되는 [[#내점의 정의|내점의 정의]]에 따른 내점이다. 이런 모든 열린집합들로 구성된 구조는 실수체계의 통상적인 구조이다. 이러한 열린집합을 모두 모아놓은 집합은 [math(\mathbb{R})]의 멱집합{{{#gray (power set, 모든 부분집합들을 원소로 가지는 집합)}}} 곧 [math(\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right))]의 부분집합이며 단어 "usual{{{#gray (통상적인)}}}"의 앞글자를 따서 [math(U)]로 둔다. [math(U)]는 다음과 같다. {{{#gray [math(\mathcal{P})]는 [math(P)]의 흘림체이다. 그리고 [math(U)]는 U의 흘림체인 [math(\mathcal{U})]로 표기하는 경우가 많은데, 여기에는 [math(U)]로 표시 해둔다.[* 사실 22년 9월 19일 기준 underset 범위 안에서 아래첨자 범위 안에 mathcal 구문을 입력할 경우 표시가 나오지 않고 구문이 깨지는 오류가 있다. 아래 비교표 구문의 {{{ i \in I_{U} }}}를 {{{ i \in I_{\mathcal{U}} }}}으로 바꿔보자.]}}}
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||[math(U=\left\{S \in \mathbb{R}\ |\ \forall p \in S,\ \exists c_{p}>0 \text{such that} \left(p-c_{p},\ p+c_{p}\right)\subset S\right\})]||
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||[math(U=\left\{S \in \mathbb{R}\ |\ \forall p \in S,\ \exists c_{p}>0\ \text{such that}\ \left(p-c_{p},\ p+c_{p}\right)\subset S\right\})]||
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이제 일반적인 집합의 경우를 보자. 집합 [math(X)]가 있으면 집합 [math(X)]의 멱집합인 [math(\mathcal{P}\left(X\right))]가 있다. 앞에 다루었던 실수체계의 열린집합의 성질처럼, 모종의 일정한 규칙들을 만족하는 멱집합 [math(\mathcal{P}\left(X\right))]의 부분집합을 일종의 구조(집합)로서 가져올 수 있고, 그런 구조(집합)의 구성요소(원소)를 열린집합으로 둔다. (당연히 구조가 다르면 그 구성요소도 다르다.)
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