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위상수학(비교)

r5 vs r10
......
2121
2222
당연하게 보이겠지만 [math(\mathbb{R})] 역시 열린집합이다.
2323
24
공집합([math(\emptyset)])은 열린집합이 아니다.
24
공집합([math(\emptyset)])은 원소도 없는 집합이면서도 __내점이 없는 집합__이다. {{{#gray (공집합의 내점을 모두 모은 집합은 공집합이다.)}}} 공집합은 따라서 열린집합이다.
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2626
-------
2727
{{{+1
2828
* 열린집합의 성질}}}열린집합의 성질은 다음을 만족한다.
2929
>자연수 [math(i)][* 색인(index)에 따른 번호를 의미하고자 index의 앞글자인 i를 가져온다. i 하면 허수 단위 [math(i)]를 떠올릴 수 있겠지만, 무작정 이렇게 알기보다는 어느 수식을 읽는다 해도 먼저 각 알파벳을 포함한 기호들이 무슨 의미로 쓰이는지를 파악하면서 읽는 것이 좋다.] 와 임의의 열린집합 [math(O_{1})], [math(O_{2})], [math(O_{3})] ... [math(O_{i})] ... 에 대하여
3030
> 1. 여러 개의 [math(O_{i})]들의 합집합은 열린집합이다. 무한 개의 합집합이어도 된다.
31
> 1. [math(O_{1} \cap O_{2})] 곧 두 열린집합의 교집합 (내지 유한 개의 열린집합들의 교집합)은 공집합([math(\emptyset)])이 아니라면 열린집합이다.
31
> 1. [math(O_{1} \cap O_{2})] 곧 두 열린집합의 교집합 (내지 유한 개의 열린집합들의 교집합)은 열린집합이다.
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먼저 '''1.'''의 집합은 (일정 조건을 만족하는 [math(\Sigma)][* 흔히 [math(\Sigma)] 기준으로 밑첨자에는 [math(k=1)]을 적어놓고 윗첨자에는 [math(n)]을 적어놓고 오른쪽에는 [math(k)]에 대한 함수 같은 식을 적어놓은 식을 읽고는, [math(k)]가 1인 경우의 값부터 2인 경우의 값, ... , [math(n)]인 경우의 값까지를 모두 합한 값으로 읽는데, 계산할 변수들과 해당 조건의 나열만 (집합처럼) 명확히 알 수 있게 적어놓는 방식으로 조건에 따라 변수를 대입한 각 경우의 값들의 합으로 볼 수 있다. 무한등비급수를 예로 들바면 자연수 전체의 집합을 나타내는 [math(\mathbb{N})]을 이용하여 [math(k \in \mathbb{N})] 으로 두어도 된다.]의 의미를 안다면 이와 비슷하게 합집합으로도 나타낼 수 있다.) 보면 그 어느 원소(지점)인 [math(p)]를 잡으면, 반드시 어떤 [math(i)]가 있어 한 열린집합인 [math(O_{i})]의 내점이 되면서 적당한 양수 [math(c)]가 있어 [math(\left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{i})]가 된다. 합집합의 특성상 '''1.'''의 집합은 [math(O_{i})]을 부분집합으로 가진다. 이에 따라 당연히 [math(\left(p-c,\ p+c\right))] 을 부분집합으로 가진다.
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먼저 '''1.'''의 집합은 (일정 조건을 만족하는 [math(\Sigma)][* 흔히 [math(\Sigma)] 기준으로 밑첨자에는 [math(k=1)]을 적어놓고 윗첨자에는 [math(n)]을 적어놓고 오른쪽에는 [math(k)]에 대한 함수 같은 식을 적어놓은 식을 읽고는, [math(k)]가 1인 경우의 값부터 2인 경우의 값, ... , [math(n)]인 경우의 값까지를 모두 합한 값으로 읽는데, 계산할 변수들과 해당 조건의 나열만 (집합처럼) 명확히 알 수 있게 적어놓는 방식으로 조건에 따라 변수를 대입한 각 경우의 값들의 합으로 볼 수 있다. 무한등비급수를 예로 들자면 자연수 전체의 집합을 나타내는 [math(\mathbb{N})]을 이용하여 [math({\sum_{k \in \mathbb{N}}a_{k}})]처럼 [math(k \in \mathbb{N})]만 [math(\Sigma)]의 밑에 적어만 두어도 위에 굳이 [math(\infty)]를 쓸 필요가 없이 {{{#gray 1부터 모든 자연수를 가리킨다는 의미가 되어}}} 충분하다.]의 의미를 안다면 이와 비슷하게 합집합으로도 나타낼 수 있다.) 보면 그 어느 원소(지점)인 [math(p)]를 잡으면, 반드시 어떤 [math(i)]가 있어 한 열린집합인 [math(O_{i})]의 내점이 되면서 적당한 양수 [math(c)]가 있어 [math(\left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{i})]가 된다. 합집합의 특성상 '''1.'''의 집합은 [math(O_{i})]을 부분집합으로 가진다. 이에 따라 당연히 [math(\left(p-c,\ p+c\right))] 을 부분집합으로 가진다.
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'''2.'''의 집합 [math(O_{1} \cap O_{2})]가 공집합이 되는 경우와 그렇지 않은 경우를 보자. 공집합이 된다면 공집합은 열린집합이므로 [math(O_{1} \cap O_{2})]은 열린집합이다. 이제 [math(O_{1} \cap O_{2})]가 공집합이 되지 않는 경우를 보자.
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=== 위상공간 ===
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열린집합의 성질을 --퍼가요~♡--따와서 일정 규칙을 만족하도록 한다.
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