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제곱근(비교)

 r20 vs r21
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 === i의 제곱근 ===
 [math(i)]의 제곱근은 무엇인가 생각할 수 있다. 곧 [math(x^2=i)]를 만족하는 [math(x)]가 무엇인지 궁금할 수 있다.
-이는 대소를 비교할 수 있는 수인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 방정식 [math(a+b\times i=\sqrt{i})]을 풀어보면 된다.  (양변을 제곱해보면 미지수 [math(a)], [math(b)]에 대한 연립이차방정식을 얻을 수 있다.)
+이는 대소를 비교할 수 있는 수(실수)인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(x=a+bi)]로 치환한 방정식 [math(a+b i=\sqrt{i})]을 풀어보면 된다.
+양변을 제곱해보면 미지수 [math(a)], [math(b)]에 대한 연립이차방정식을 얻을 수 있다. [math(\left(bi\right)^{2}=-b^{2})]가 되므로
+[math(a^{2}-b^{2}+2ab i=i)]을 얻는다.  양변에서 실수부와 허수부를 비교해보면
+[math(\begin{cases}
+a^{2}-b^{2}=0 \quad\text{(실수부)} \\
+ab=1 \quad\text{(허수부)}
+\end{cases})]
+실수부의 좌변을 인수분해하면
+[math(\left(a+b\right)\left(a-b\right)=0)]이 되므로
+[math(a=b)] 또는 [math(a=-b)] 이라는 결과를 얻는다.
+[math(a=-b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(-2b^{2}=1)]을 얻는다.  이는 정리하면 [math(b^{2}=-{{1}\over{2}})]가 되는데, [math(b)]가 실수라는 조건에 모순이 된다.
+한편 [math(a=b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(2b^{2}=1)]을 얻고, 정리하면 [math(b^{2}={{1}\over{2}})]가 되어 다음을 얻게 된다.
+[math(b={{\sqrt{2}}\over{2}})] 또는 [math(b=-{{\sqrt{2}}\over{2}})]
+이를 [math(a=b)]에 대입하고, 앞에서 [math(x=a+bi)]에 대입하면 다음을 얻는다.
+[math(x={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(x=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]
+따라서 [math(i)]의 제곱근은 [math({{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]임을 알 수 있다.
 === 세제곱근 ===
 세제곱근 8인 [math(8 = \sqrt[3]8)] 은 실수 범위 내에서는 2이지만 복소수 범위에서는 [math(x=2 \text{ ,or }x=-1\pm\sqrt{3}i)]가 있다.
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